ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 818 Алимов — Подробные Ответы

Найти производную функции (818—821).

1. (x3+x2+16)/x;
2. (x (корень 3 степени x) + 3x+18)/ (корень 3 степени x).

1. $f(x)=\frac{x^3+x^2+16}{x}=x^2+x+\frac{16}{x}$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(x{)}^{\mathrm{\prime }}+16\cdot {\left(\frac{1}{x}\right)}^{\mathrm{\prime }}$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+1-\frac{16}{x^2}$;

2. $f(x)=\frac{x^3\sqrt[3]{x}+3x+18}{\sqrt[3]{x}}=x+3x^{\frac{2}{3}}+18x^{-\frac{1}{3}}$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^{\mathrm{\prime }})+3\cdot {\left(x^{\frac{2}{3}}\right)}^{\mathrm{\prime }}+18\cdot {\left(x^{-\frac{1}{3}}\right)}^{\mathrm{\prime }}$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+3\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{-\frac{1}{3}}+18\cdot (-\frac{1}{3})\cdot x^{-\frac{4}{3}}$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+2\cdot x^{-\frac{1}{3}}-6\cdot x^{-1}\cdot x^{-\frac{1}{3}}$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}-\frac{6}{x\sqrt[3]{x}}$

1) $f(x)=\frac{x^3+x^2+16}{x}$

Эта функция может быть представлена как:

$$f(x)=x^2+x+\frac{16}{x}$$

Теперь будем находить её производную.

Шаг 1: Разложение на сумму простых функций

Мы можем представить функцию $f(x)$ как сумму трёх частей:

$$f(x)=x^2+x+\frac{16}{x}$$

Каждую из этих частей будем дифференцировать по отдельности.

Шаг 2: Нахождение производной для каждой части

Производная от $x^2$ по правилу дифференцирования степенной функции:

$$\frac{d}{dx}(x^2)=2x$$

Производная от $x$:

$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Для $\frac{16}{x}$ используем правило дифференцирования дроби:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{16}{x}\right)=16\cdot \frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=16\cdot (-1)\cdot x^{-2}=-\frac{16}{x^2}$$

Шаг 3: Составление производной

Теперь складываем полученные производные:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+1-\frac{16}{x^2}$$

Итак, производная функции $f(x)=\frac{x^3+x^2+16}{x}$ равна:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+1-\frac{16}{x^2}$$

2) $f(x)=\frac{x^3\sqrt[3]{x}+3x+18}{\sqrt[3]{x}}$

Для этой задачи сначала упростим выражение $f(x)$, представив его в более удобной форме. Начнем с преобразования выражения в степень:

$$f(x)=\frac{x^3\sqrt[3]{x}+3x+18}{\sqrt[3]{x}}=\frac{x^3{x}^{\frac{1}{3}}+3x+18}{x^{\frac{1}{3}}}$$

Теперь упростим выражение:

$$f(x)=x^{3+\frac{1}{3}}+3x^{1-\frac{1}{3}}+18x^{-\frac{1}{3}}$$$$f(x)=x^{\frac{10}{3}}+3x^{\frac{2}{3}}+18x^{-\frac{1}{3}}$$

Теперь у нас есть три отдельных члена: $x^{\frac{10}{3}}$, $3x^{\frac{2}{3}}$ и $18x^{-\frac{1}{3}}$. Мы будем дифференцировать их по отдельности.

Шаг 1: Нахождение производной каждого члена

Для $x^{\frac{10}{3}}$ применяем правило дифференцирования степенной функции:

$$\frac{d}{dx}(x^{\frac{10}{3}})=\frac{10}{3}{x}^{\frac{7}{3}}$$

Для $3x^{\frac{2}{3}}$:

$$\frac{d}{dx}(3x^{\frac{2}{3}})=3\cdot \frac{2}{3}{x}^{\frac{2}{3}-1}=2x^{-\frac{1}{3}}$$

Для $18x^{-\frac{1}{3}}$:

$$\frac{d}{dx}(18x^{-\frac{1}{3}})=18\cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1}=-6x^{-\frac{4}{3}}$$

Шаг 2: Составление производной

Теперь объединяем все полученные результаты:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{10}{3}{x}^{\frac{7}{3}}+2x^{-\frac{1}{3}}-6x^{-\frac{4}{3}}$$

Шаг 3: Приведение к общему виду

Запишем это в более компактной форме:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{10}{3}{x}^{\frac{7}{3}}+\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}-\frac{6}{x^{\frac{4}{3}}}$$

Итак, производная функции $f(x)=\frac{x^3\sqrt[3]{x}+3x+18}{\sqrt[3]{x}}$ равна:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}-\frac{6}{x\text{exception 25:}}$$