ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 812 Алимов — Подробные Ответы

Пересекается ли график функции, являющейся производной функции у = х3 + 2х2- 3х + 4, с графиком функции у = 3х + 1?

$y = x^3 + 2x^2 — 3x + 4;$

$y’ = (x^3)’ + 2 \cdot (x^2)’ — (3x — 4)’ = 3x^2 + 2 \cdot 2x — 3 = 3x^2 + 4x — 3;$

Пересечение графиков производной и функции $y = 3x + 1$:

$3x^2 + 4x — 3 = 3x + 1;$

$3x^2 + x — 4 = 0;$

$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 + 48 = 49,$ тогда:

$x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$ и $x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = 1;$

Ответ: пересекаются.

Функция:
$y = x^3 + 2x^2 — 3x + 4$

Нужно найти производную функции и затем найти пересечение графиков производной функции $y’$ и функции $y = 3x + 1$.

Шаг 1: Нахождение производной функции $y = x^3 + 2x^2 — 3x + 4$

Чтобы найти производную функции $y$, будем использовать основные правила дифференцирования:

• Производная от $x^n$ (где $n$ — константа) равна $n \cdot x^{n-1}$.
• Производная от константы равна нулю.

Рассмотрим каждый элемент:

1. Производная от $x^3$:

   $$(x^3)’ = 3x^2$$

2. Производная от $2x^2$:

   $$(2x^2)’ = 2 \cdot 2x = 4x$$

3. Производная от $-3x$:

   $$(-3x)’ = -3$$

4. Производная от константы $4$:

   $$(4)’ = 0$$

Подставляем все найденные производные:

$$y’ = 3x^2 + 4x — 3$$

Таким образом, производная функции $y = x^3 + 2x^2 — 3x + 4$ равна:

$$y’ = 3x^2 + 4x — 3$$

Шаг 2: Пересечение графиков производной и функции $y = 3x + 1$

Теперь нужно найти точку пересечения графиков производной функции $y’ = 3x^2 + 4x — 3$ и прямой $y = 3x + 1$. Для этого приравняем выражения для $y’$ и $y$:

$$3x^2 + 4x — 3 = 3x + 1$$

Шаг 2.1: Приведение уравнения к стандартному виду

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$$3x^2 + 4x — 3 — 3x — 1 = 0$$

Упрощаем выражение:

$$3x^2 + x — 4 = 0$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

$$3x^2 + x — 4 = 0$$

Шаг 2.2: Вычисление дискриминанта

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

В данном уравнении $a = 3$, $b = 1$, $c = -4$, поэтому:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$$

Шаг 2.3: Нахождение корней уравнения

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = 1$, $D = 49$, $a = 3$:

$$x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$$ $$x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$$

Шаг 3: Ответ

Таким образом, графики функции $y = x^3 + 2x^2 — 3x + 4$ и прямой $y = 3x + 1$ пересекаются в точках $x = -\frac{4}{3}$ и $x = 1$.

Ответ:
Графики пересекаются в точках $x = -\frac{4}{3}$ и $x = 1$.