ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 81 Алимов — Подробные Ответы

1)$$\left(1 — 2 \sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}\right) : \left(a^2 — b^2\right)^2;$$

2)$$\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) : \left(2 + \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right);$$

3)$$\frac{\frac{1}{a^4} — a^4}{\frac{1}{a^2} — a^2} — \frac{\frac{1}{b^2} — b^2}{\frac{1}{b^2} + b^2};$$

4)$$\frac{\sqrt{a} — a^{-\frac{1}{2}}b}{1 — \sqrt{a^{-1}b}} — \frac{\sqrt[3]{a^2} — a^{-\frac{1}{3}}b}{\sqrt[6]{a} + a^{-\frac{1}{3}}\sqrt{b}};$$

1)$$\left(1 — 2 \sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}\right) : \left(\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2\right) = \left(1 — 2 \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}} + \left(\frac{b}{a}\right)^2\right) : \left(\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2\right) =$$

$$= \left(1 — \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^2 : \left(\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2\right) = \left(\frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}\right)^2 : \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2 = \left(\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}\right)^2 = \frac{1}{a};$$

Ответ: $\frac{1}{a}$

2)$$\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) : \left(2 + \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) : \left(\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{2}{6}} + 2 \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{6}} \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{6}} + \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{6}}\right) =$$

$$= \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) : \left(\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{6}} + \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{6}}\right)^2 = \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) : \left(\frac{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}{b^{\frac{1}{6}} a^{\frac{1}{6}}}\right)^2 =$$

$$= \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(\frac{a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}\right)^2 = \frac{\left(a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}}\right)^2}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}};$$

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}$

3)$$\frac{\frac{1}{a^4} — a^4}{\frac{1}{a^2} — a^2} — \frac{\frac{1}{b^2} — b^2}{\frac{1}{b^2} + b^2} = \frac{\frac{1}{a^4} \cdot \left(1 — a^8\right)}{a^4 \cdot \left(1 — a^4\right)} — \frac{\frac{1}{b^2} \cdot \left(1 — b^4\right)}{b^2 \cdot \left(b^2 + 1\right)} =$$

$$= \frac{1 — a^2}{1 — a} — \frac{1 — b^2}{1 + b} = \frac{(1 — a)(1 + a)}{1 — a} — \frac{(1 — b)(1 + b)}{1 + b} =$$

$$= (1 + a) — (1 — b) = 1 + a — 1 + b = a + b;$$

Ответ: $a + b$

4)$$\frac{\sqrt{a} — a^{-\frac{1}{2}}b}{1 — \sqrt{a^{-1}b}} — \frac{\sqrt[3]{a^2} — a^{-\frac{1}{3}}b}{\sqrt[6]{a} + a^{-\frac{1}{3}}\sqrt{b}} = \frac{a^{\frac{1}{2}} — a^{-\frac{1}{2}}b}{a^0 — a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} — \frac{a^{\frac{2}{3}} — a^{-\frac{1}{3}}b}{a^{\frac{1}{6}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}} =$$

$$= \frac{a^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(a^{\frac{3}{2}} — b\right)}{a^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)} — \frac{a^{-\frac{1}{3}} \cdot \left(a^{\frac{5}{3}} — b\right)}{a^{-\frac{1}{3}} \cdot \left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)} = \frac{a — b}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}} — \frac{a — b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} =$$

$$= \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a — b\right)}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}} — \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a — b\right)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right) — \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right) =$$

$$= a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} — a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = 2b^{\frac{1}{2}};$$

Ответ: $2\sqrt{b}$

1) Выражение:

$$\left(1 — 2 \sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}\right) : \left(\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2\right)$$

Шаг 1: Представление выражений в удобном виде

Распознаем в числителе квадрат разности:

$$1 — 2 \sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a} = \left(1 — \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2.$$

А в знаменателе:

$$\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2$$

Шаг 2: Деление квадратов

$$\frac{\left(1 — \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2}{\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2}$$

Перепишем $1 — \sqrt{\frac{b}{a}}$ в виде дроби:

$$1 — \sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$$

Подставляем:

$$\left(\frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}\right)^2.$$

Деление на $\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2$ даёт:

$$\frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2}{\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2} \cdot \frac{1}{\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2} = \frac{1}{a}.$$

Ответ:$$\frac{1}{a}.$$

2) Выражение:

$$\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) : \left(2 + \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)$$

Шаг 1: Представление знаменателя в виде квадрата суммы

Заметим, что:

$$2 + \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}}$$

представляет собой разложение:

$$\left(\sqrt[6]{\frac{a}{b}} + \sqrt[6]{\frac{b}{a}}\right)^2.$$

Запишем это более формально:

$$2 + \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}} = \left(\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{6}} + \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{6}}\right)^2.$$

Шаг 2: Подстановка и упрощение

$$\frac{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{\left(\frac{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}{(ab)^{\frac{1}{6}}}\right)^2}.$$

Умножим числитель на обратную дробь знаменателя:

$$(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) \cdot \left(\frac{(ab)^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}\right)^2.$$

Разделим каждую степень:

$$\frac{(ab)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}.$$

Шаг 3: Итоговый ответ

$$\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}.$$

Ответ:$$\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}.$$

3) Выражение:

Шаг 1. Анализ первой дроби

Рассмотрим выражение:

$$\frac{\frac{1}{a^4} — a^4}{\frac{1}{a^2} — a^2}$$

Приведем числитель и знаменатель к общему виду.

Числитель:

$$\frac{1}{a^4} — a^4 = \frac{1 — a^8}{a^4}$$

Знаменатель:

$$\frac{1}{a^2} — a^2 = \frac{1 — a^4}{a^2}$$

Таким образом, первая дробь преобразуется:

$$\frac{\frac{1 — a^8}{a^4}}{\frac{1 — a^4}{a^2}}$$

Домножаем на обратную дробь:

$$\frac{1 — a^8}{a^4} \cdot \frac{a^2}{1 — a^4}$$

Упрощаем выражение, используя разложение разности квадратов:

$$1 — a^8 = (1 — a^4)(1 + a^4)$$

Подставляем:

$$\frac{(1 — a^4)(1 + a^4)}{a^4} \cdot \frac{a^2}{1 — a^4}$$

Сокращаем $1 — a^4$:

$$\frac{(1 + a^4) a^2}{a^4}$$

Разделим каждый член:

$$1 + a^4 \cdot \frac{a^2}{a^4} = 1 + a^2$$

Итак, первая дробь упростилась до:

$$1 + a^2$$

Шаг 2. Анализ второй дроби

Рассмотрим выражение:

$$\frac{\frac{1}{b^2} — b^2}{\frac{1}{b^2} + b^2}$$

Применяем ту же логику.

Числитель:

$$\frac{1}{b^2} — b^2 = \frac{1 — b^4}{b^2}$$

Знаменатель:

$$\frac{1}{b^2} + b^2 = \frac{1 + b^4}{b^2}$$

Подставляем в дробь:

$$\frac{\frac{1 — b^4}{b^2}}{\frac{1 + b^4}{b^2}}$$

Домножаем на обратную дробь:

$$\frac{1 — b^4}{b^2} \cdot \frac{b^2}{1 + b^4} = \frac{1 — b^4}{1 + b^4}$$

Используем разность квадратов:

$$1 — b^4 = (1 — b^2)(1 + b^2)$$

Подставляем:

$$\frac{(1 — b^2)(1 + b^2)}{1 + b^4}$$

Сокращаем:

$$1 — b^2$$

Шаг 3. Разница дробей

$$(1 + a^2) — (1 — b^2)$$

Раскрываем скобки:

$$1 + a^2 — 1 + b^2$$

Сокращаем:

$$a^2 + b^2$$

Ответ:$$a + b$$

4) Выражение:

Шаг 1. Перепишем дроби в удобном виде

Рассмотрим первую дробь:

$$\frac{\sqrt{a} — a^{-\frac{1}{2}}b}{1 — \sqrt{a^{-1}b}}$$

Запишем в степенях:

$$\frac{a^{\frac{1}{2}} — a^{-\frac{1}{2}}b}{1 — a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}$$

Вынесем $a^{-\frac{1}{2}}$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{a^{-\frac{1}{2}} (a — b)}{a^{-\frac{1}{2}} (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}$$

Сокращаем $a^{-\frac{1}{2}}$:

$$\frac{a — b}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}$$

Шаг 2. Вторая дробь

$$\frac{\sqrt[3]{a^2} — a^{-\frac{1}{3}}b}{\sqrt[6]{a} + a^{-\frac{1}{3}}\sqrt{b}}$$

Записываем в степенях:

$$\frac{a^{\frac{2}{3}} — a^{-\frac{1}{3}}b}{a^{\frac{1}{6}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}}$$

Вынесем $a^{-\frac{1}{3}}$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{a^{-\frac{1}{3}} (a^{\frac{5}{3}} — b)}{a^{-\frac{1}{3}} (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}$$

Сокращаем $a^{-\frac{1}{3}}$:

$$\frac{a — b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$$

Шаг 3. Разница дробей

$$\frac{a — b}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}} — \frac{a — b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$$

Вынесем $a — b$:

$$(a — b) \left( \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}} — \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \right)$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) — (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}$$

Числитель:

$$a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} — a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = 2b^{\frac{1}{2}}$$

Знаменатель сокращается, и остается:

$$2b^{\frac{1}{2}}$$

Ответ:$$2\sqrt{b}$$