ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 805 Алимов — Подробные Ответы

Найти производную функции:

1. x2+1/x3;
2. x3+1/x2;
3. 2 корень 4 степени x — корень x;
4. 3 корень 6 степени x + 7 корень 14 степени x.

1. $f(x) = x^2 + \frac{1}{x^3}$;
   $f'(x) = (x^2)’ + (x^{-3})’ = 2 \cdot x — 3 \cdot x^{-4} = 2x — \frac{3}{x^4}$;
2. $f(x) = x^3 + \frac{1}{x^2}$;
   $f'(x) = (x^3)’ + (x^{-2})’ = 3 \cdot x^2 — 2 \cdot x^{-3} = 3x^2 — \frac{2}{x^3}$;
3. $f(x) = 2\sqrt[4]{x} — \sqrt{x}$;
   $f'(x) = 2 \cdot \left( x^{\frac{1}{4}} \right)’ — (\sqrt{x})’$;
   $f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot x^{-\frac{3}{4}} — \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt[4]{x^3}} — \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2(\sqrt[4]{x^3} — \sqrt{x})}$;
4. $f(x) = 3\sqrt[6]{x} + 7\sqrt[14]{x}$;
   $f'(x) = 3 \cdot \left( x^{\frac{1}{6}} \right)’ + 7 \cdot \left( x^{\frac{1}{14}} \right)’$;
   $f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot x^{-\frac{5}{6}} + 7 \cdot \frac{1}{14} \cdot x^{-\frac{13}{14}} = \frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}} + \frac{1}{2\sqrt[14]{x^{13}}} = \frac{1}{2(\sqrt[6]{x^5} + \sqrt[14]{x^{13}})}$.

1) $f(x) = x^2 + \frac{1}{x^3}$

Нам нужно найти производную функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 + \frac{1}{x^3} \right)$$

Шаг 1: Разделим производную на два члена:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \right)$$

Шаг 2: Дифференцируем каждый член:

1. Производная от $x^2$ по правилу $\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$ будет:

   $$\frac{d}{dx} \left( x^2 \right) = 2x$$

2. Производная от $x^{-3}$ (помним, что $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$) по правилу $\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$:

   $$\frac{d}{dx} \left( x^{-3} \right) = -3x^{-4}$$

Шаг 3: Собираем результаты:

$$f'(x) = 2x — 3x^{-4}$$

Теперь преобразуем второй член:

$$f'(x) = 2x — \frac{3}{x^4}$$

2) $f(x) = x^3 + \frac{1}{x^2}$

Нам нужно найти производную функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^3 + \frac{1}{x^2} \right)$$

Шаг 1: Разделим производную на два члена:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^3 \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2} \right)$$

Шаг 2: Дифференцируем каждый член:

1. Производная от $x^3$ по правилу $\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$:

   $$\frac{d}{dx} \left( x^3 \right) = 3x^2$$

2. Производная от $x^{-2}$ (так как $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$) по тому же правилу:

   $$\frac{d}{dx} \left( x^{-2} \right) = -2x^{-3}$$

Шаг 3: Собираем результаты:

$$f'(x) = 3x^2 — 2x^{-3}$$

Теперь преобразуем второй член:

$$f'(x) = 3x^2 — \frac{2}{x^3}$$

3) $f(x) = 2\sqrt[4]{x} — \sqrt{x}$

Нам нужно найти производную функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2\sqrt[4]{x} — \sqrt{x} \right)$$

Шаг 1: Перепишем корни как степени:

1. $\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$
2. $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

Теперь функция принимает вид:

$$f(x) = 2x^{\frac{1}{4}} — x^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 2: Дифференцируем каждый член:

1. Производная от $2x^{\frac{1}{4}}$ по правилу $\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$:

   $$\frac{d}{dx} \left( 2x^{\frac{1}{4}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{3}{4}}$$

2. Производная от $x^{\frac{1}{2}}$ по тому же правилу:

   $$\frac{d}{dx} \left( x^{\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$$

Шаг 3: Собираем результаты:

$$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{3}{4}} — \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$$

Теперь преобразуем эти выражения:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt[4]{x^3}} — \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Для удобства, можем привести это к общему виду:

$$f'(x) = \frac{1}{2(\sqrt[4]{x^3} — \sqrt{x})}$$

4) $f(x) = 3\sqrt[6]{x} + 7\sqrt[14]{x}$

Нам нужно найти производную функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 3\sqrt[6]{x} + 7\sqrt[14]{x} \right)$$

Шаг 1: Перепишем корни как степени:

1. $\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$
2. $\sqrt[14]{x} = x^{\frac{1}{14}}$

Теперь функция принимает вид:

$$f(x) = 3x^{\frac{1}{6}} + 7x^{\frac{1}{14}}$$

Шаг 2: Дифференцируем каждый член:

1. Производная от $3x^{\frac{1}{6}}$ по правилу $\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$:

   $$\frac{d}{dx} \left( 3x^{\frac{1}{6}} \right) = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{5}{6}}$$

2. Производная от $7x^{\frac{1}{14}}$ по тому же правилу:

   $$\frac{d}{dx} \left( 7x^{\frac{1}{14}} \right) = 7 \cdot \frac{1}{14} \cdot x^{-\frac{13}{14}} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{13}{14}}$$

Шаг 3: Собираем результаты:

$$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{5}{6}} + \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{13}{14}}$$

Теперь преобразуем эти выражения:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}} + \frac{1}{2\sqrt[14]{x^{13}}}$$

Для удобства, можем привести это к общему виду:

$$f'(x) = \frac{1}{2(\sqrt[6]{x^5} + \sqrt[14]{x^{13}})}$$

Итог:

1. $f'(x) = 2x — \frac{3}{x^4}$
2. $f'(x) = 3x^2 — \frac{2}{x^3}$
3. $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt[4]{x^3}} — \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2(\sqrt[4]{x^3} — \sqrt{x})}$
4. $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}} + \frac{1}{2\sqrt[14]{x^{13}}} = \frac{1}{2(\sqrt[6]{x^5} + \sqrt[14]{x^{13}})}$