ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 802 Алимов — Подробные Ответы

Найти производную функции (802—803).

1. х2 + х;
2. х2-х;
3. 3х2;
4. -17х2;
5. -4х3;
6. 0,5х3;
7. 13х2 + 26;
8. 8х2 — 16.

1. $f(x) = x^2 + x$;
   $f'(x) = (x^2)’ + (x)’ = 2x + 1$;
2. $f(x) = x^2 — x$;
   $f'(x) = (x^2)’ — (x)’ = 2x — 1$;
3. $f(x) = 3x^2$;
   $f'(x) = 3 \cdot (x^2)’ = 3 \cdot 2x = 6x$;
4. $f(x) = -17x^2$;
   $f'(x) = -17 \cdot (x^2)’ = -17 \cdot 2x = -34x$;
5. $f(x) = -4x^3$;
   $f'(x) = -4 \cdot (x^3)’ = -4 \cdot 3x^2 = -12x^2$;
6. $f(x) = 0,5x^3$;
   $f'(x) = 0,5 \cdot (x^3)’ = 0,5 \cdot 3x^2 = 1,5x^2$;
7. $f(x) = 13x^2 + 26$;
   $f'(x) = 13 \cdot (x^2)’ + (26)’ = 13 \cdot 2x + 0 = 26x$;
8. $f(x) = 8x^2 — 16$;
   $f'(x) = 8 \cdot (x^2)’ — (16)’ = 8 \cdot 2x — 0 = 16x$

Пример 1

Функция:

$$f(x) = x^2 + x.$$

Шаг 1: Применение правил дифференцирования

Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования для суммы и для стандартных степенных функций.

1. Производная от $x^2$ (по правилу дифференцирования для степенной функции):
   $(x^2)’ = 2x$.
2. Производная от $x$ (по правилу дифференцирования для линейной функции):
   $(x)’ = 1$.

Шаг 2: Итоговое выражение

Теперь можем записать полное выражение для производной:

$$f'(x) = (x^2)’ + (x)’ = 2x + 1.$$

Пример 2

Функция:

$$f(x) = x^2 — x.$$

Шаг 1: Применение правил дифференцирования

1. Производная от $x^2$:
   $(x^2)’ = 2x$.
2. Производная от $-x$:
   $(-x)’ = -1$.

Шаг 2: Итоговое выражение

Итак, получаем:

$$f'(x) = (x^2)’ — (x)’ = 2x — 1.$$

Пример 3

Функция:

$$f(x) = 3x^2.$$

Шаг 1: Применение правил дифференцирования

Здесь мы используем правило для производной от произведения числа на функцию.

1. Производная от $x^2$:
   $(x^2)’ = 2x$.
2. Число 3 в данном случае просто умножается на производную:
   $f'(x) = 3 \cdot (x^2)’ = 3 \cdot 2x = 6x$.

Шаг 2: Итоговое выражение

Получаем:

$$f'(x) = 6x.$$

Пример 4

Функция:

$$f(x) = -17x^2.$$

Шаг 1: Применение правил дифференцирования

1. Производная от $x^2$:
   $(x^2)’ = 2x$.
2. Число $-17$ умножается на производную от $x^2$:
   $f'(x) = -17 \cdot (x^2)’ = -17 \cdot 2x = -34x$.

Шаг 2: Итоговое выражение

Получаем:

$$f'(x) = -34x.$$

Пример 5

Функция:

$$f(x) = -4x^3.$$

Шаг 1: Применение правил дифференцирования

1. Производная от $x^3$:
   $(x^3)’ = 3x^2$.
2. Число $-4$ умножается на производную от $x^3$:
   $f'(x) = -4 \cdot (x^3)’ = -4 \cdot 3x^2 = -12x^2$.

Шаг 2: Итоговое выражение

Получаем:

$$f'(x) = -12x^2.$$

Пример 6

Функция:

$$f(x) = 0,5x^3.$$

Шаг 1: Применение правил дифференцирования

1. Производная от $x^3$:
   $(x^3)’ = 3x^2$.
2. Число $0,5$ умножается на производную от $x^3$:
   $f'(x) = 0,5 \cdot (x^3)’ = 0,5 \cdot 3x^2 = 1,5x^2$.

Шаг 2: Итоговое выражение

Получаем:

$$f'(x) = 1,5x^2.$$

Пример 7

Функция:

$$f(x) = 13x^2 + 26.$$

Шаг 1: Применение правил дифференцирования

1. Производная от $x^2$:
   $(x^2)’ = 2x$.
2. Производная от константы 26:
   Производная от константы всегда равна 0:
   $(26)’ = 0$.

Шаг 2: Итоговое выражение

Теперь подставим все в выражение для производной:

$$f'(x) = 13 \cdot (x^2)’ + (26)’ = 13 \cdot 2x + 0 = 26x.$$

Пример 8

Функция:

$$f(x) = 8x^2 — 16.$$

Шаг 1: Применение правил дифференцирования

1. Производная от $x^2$:
   $(x^2)’ = 2x$.
2. Производная от константы $-16$:
   Производная от константы равна 0:
   $(-16)’ = 0$.

Шаг 2: Итоговое выражение

Теперь подставляем все:

$$f'(x) = 8 \cdot (x^2)’ — (16)’ = 8 \cdot 2x — 0 = 16x.$$

Итоговые ответы:

1. $f'(x) = 2x + 1$
2. $f'(x) = 2x — 1$
3. $f'(x) = 6x$
4. $f'(x) = -34x$
5. $f'(x) = -12x^2$
6. $f'(x) = 1,5x^2$
7. $f'(x) = 26x$
8. $f'(x) = 16x$