ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 800 Алимов — Подробные Ответы

По данному на рисунке 108 графику квадратичной функции написать формулы, задающие саму функцию и её производную.

На обоих рисунках изображена парабола, абсцисса вершины которой равна нулю, то есть уравнение функции имеет вид: $y = ax^2 + c$.

а) График проходит через точки $(0; 1)$ и $(1; 2)$:

1. Подставим точку $(0; 1)$:

   $$1 = a \cdot 0^2 + c = 0 + c = c$$

   Следовательно, $c = 1$.

2. Подставим точку $(1; 2)$:

   $$2 = a \cdot 1^2 + 1 = a + 1$$

   Отсюда:

   $$a = 2 — 1 = 1$$

3. Уравнения функции и ее производной:

   $$y(x) = x^2 + 1$$ $$y'(x) = (x^2)’ + (1)’ = 2x^{2-1} + 0 = 2x$$

Ответ: $y(x) = x^2 + 1$; $y'(x) = 2x$.

б) График проходит через точки $(0; 1)$ и $\left( \frac{3}{2}; -\frac{3}{2} \right)$:

1. Подставим точку $(0; 1)$:

   $$1 = a \cdot 0^2 + c = 0 + c = c$$

   Следовательно, $c = 1$.

2. Подставим точку $\left( \frac{3}{2}; -\frac{3}{2} \right)$:

   $$-\frac{3}{2} = a \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^2 + 1 = a \cdot \frac{9}{4} + 1$$

   Отсюда:

   $$-\frac{3}{2} = \frac{9}{4}a + 1$$

   Переносим 1 влево:

   $$-\frac{3}{2} — 1 = \frac{9}{4}a$$ $$-\frac{3}{2} — \frac{2}{2} = \frac{9}{4}a$$ $$-\frac{5}{2} = \frac{9}{4}a$$

   Решаем для $a$:

   $$a = -\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{20}{18} = -\frac{10}{9}$$

3. Уравнения функции и ее производной:

   $$y(x) = 1 — \frac{10}{9}x^2$$ $$y'(x) = (1)’ — \frac{10}{9} \cdot (x^2)’ = 0 — \frac{10}{9} \cdot 2x^{2-1} = -\frac{20}{9}x$$

Ответ: $y(x) = 1 — \frac{10}{9}x^2$; $y'(x) = -\frac{20}{9}x$.

У нас есть парабола, абсцисса вершины которой равна нулю, то есть уравнение функции имеет вид:

$$y = ax^2 + c.$$

Задача состоит в том, чтобы найти значения $a$ и $c$ для двух различных графиков, которые проходят через определенные точки, а также вычислить производные этих функций.

а) График проходит через точки $(0; 1)$ и $(1; 2)$:

Шаг 1: Подставляем точку $(0; 1)$ в уравнение.

1. Парабола проходит через точку $(0; 1)$, то есть когда $x = 0$, $y = 1$.
2. Подставим $x = 0$ и $y = 1$ в уравнение $y = ax^2 + c$:

   $$1 = a \cdot 0^2 + c.$$

3. Это упрощается до:

   $$1 = c.$$

   Следовательно, мы нашли, что:

   $$c = 1.$$

Шаг 2: Подставляем точку $(1; 2)$ в уравнение.

Теперь, когда мы знаем, что $c = 1$, подставим точку $(1; 2)$, то есть $x = 1$ и $y = 2$, в уравнение $y = ax^2 + 1$:

$$2 = a \cdot 1^2 + 1.$$

Это упрощается до:

$$2 = a + 1.$$

Вычитаем 1 с обеих сторон:

$$a = 2 — 1 = 1.$$

Шаг 3: Уравнение функции.

Теперь мы знаем, что $a = 1$ и $c = 1$, значит уравнение функции параболы:

$$y(x) = x^2 + 1.$$

Шаг 4: Находим производную функции.

Производная функции $y(x) = x^2 + 1$ вычисляется по стандартным правилам дифференцирования:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(1).$$

Производная от $x^2$ — это $2x$, а производная от константы $1$ равна 0. Таким образом:

$$y'(x) = 2x.$$

Ответ:

Уравнение функции: $y(x) = x^2 + 1$.

Производная функции: $y'(x) = 2x$.

б) График проходит через точки $(0; 1)$ и $\left( \frac{3}{2}; -\frac{3}{2} \right)$:

Шаг 1: Подставляем точку $(0; 1)$ в уравнение.

Парабола проходит через точку $(0; 1)$, то есть $x = 0$ и $y = 1$. Подставим эти значения в уравнение:

$$1 = a \cdot 0^2 + c.$$

Это упрощается до:

$$1 = c.$$

Следовательно, мы нашли, что:

$$c = 1.$$

Шаг 2: Подставляем точку $\left( \frac{3}{2}; -\frac{3}{2} \right)$ в уравнение.

Теперь подставим точку $\left( \frac{3}{2}; -\frac{3}{2} \right)$, то есть $x = \frac{3}{2}$ и $y = -\frac{3}{2}$, в уравнение $y = ax^2 + 1$:

$$-\frac{3}{2} = a \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^2 + 1.$$

Вычислим квадрат $\left( \frac{3}{2} \right)^2$:

$$-\frac{3}{2} = a \cdot \frac{9}{4} + 1.$$

Теперь перенесем 1 на левую сторону:

$$-\frac{3}{2} — 1 = a \cdot \frac{9}{4}.$$

Приведем 1 к общему знаменателю:

$$-\frac{3}{2} — \frac{2}{2} = a \cdot \frac{9}{4}.$$

Это упрощается до:

$$-\frac{5}{2} = a \cdot \frac{9}{4}.$$

Теперь решим для $a$. Для этого умножим обе стороны на $\frac{4}{9}$:

$$a = -\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{20}{18} = -\frac{10}{9}.$$

Шаг 3: Уравнение функции.

Теперь, когда мы знаем, что $a = -\frac{10}{9}$ и $c = 1$, уравнение функции параболы будет:

$$y(x) = 1 — \frac{10}{9}x^2.$$

Шаг 4: Находим производную функции.

Производная функции $y(x) = 1 — \frac{10}{9}x^2$ вычисляется следующим образом:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}\left( 1 \right) — \frac{10}{9} \cdot \frac{d}{dx}\left( x^2 \right).$$

Производная от $1$ равна 0, а производная от $x^2$ — это $2x$. Таким образом:

$$y'(x) = 0 — \frac{10}{9} \cdot 2x = -\frac{20}{9}x.$$

Ответ:

Уравнение функции: $y(x) = 1 — \frac{10}{9}x^2$.

Производная функции: $y'(x) = -\frac{20}{9}x$.

Итоговые ответы:

1. Для функции $y(x) = x^2 + 1$ производная: $y'(x) = 2x$.
2. Для функции $y(x) = 1 — \frac{10}{9}x^2$ производная: $y'(x) = -\frac{20}{9}x$.