ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 798 Алимов — Подробные Ответы

Найти мгновенную скорость тела, движущегося по закону s (t) = корень (t+1) в момент времени t= 3.

Тело движется по закону $s(t) = \sqrt{t + 1} = (t + 1)^{\frac{1}{2}}$;

Мгновенная скорость тела в момент времени $t = 3$:
$s'(t) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (t + 1)^{\frac{1}{2} — 1} = \frac{1}{2} \cdot (t + 1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{t + 1}};$
$s'(3) = \frac{1}{2 \sqrt{3 + 1}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0,25;$
Ответ: $0,25$.

Тело движется по закону $s(t) = \sqrt{t + 1} = (t + 1)^{\frac{1}{2}}$. Необходимо найти мгновенную скорость тела в момент времени $t = 3$.

Шаг 1: Запишем исходную функцию.

• Тело движется по закону:

  $$s(t) = \sqrt{t + 1} = (t + 1)^{\frac{1}{2}}.$$

  Это выражение описывает путь $s(t)$ тела, зависимый от времени $t$. Задача состоит в том, чтобы найти мгновенную скорость, то есть первую производную функции пути по времени.

Шаг 2: Найдем производную функции пути $s(t)$.

Для нахождения мгновенной скорости нам нужно найти первую производную функции пути $s(t)$. Используем правило дифференцирования для степенной функции $(t + 1)^{\frac{1}{2}}$. В этом случае мы применяем стандартную формулу для дифференцирования функции вида $f(t) = (t + 1)^n$, где $n = \frac{1}{2}$:

$$\frac{d}{dt} \left( (t + 1)^n \right) = n \cdot (t + 1)^{n-1} \cdot \frac{d}{dt}(t + 1).$$

Здесь $n = \frac{1}{2}$, и производная внутренней функции $t + 1$ равна 1, так как производная $t$ равна 1, а производная от постоянного числа 1 равна 0.

Теперь применим правило:

$$s'(t) = \frac{1}{2} \cdot (t + 1)^{\frac{1}{2} — 1} = \frac{1}{2} \cdot (t + 1)^{-\frac{1}{2}}.$$

Здесь результат прост: мы вычитаем 1 из показателя степени $\frac{1}{2} — 1 = -\frac{1}{2}$, и перед этим множителем остается $\frac{1}{2}$, что даёт нам:

$$s'(t) = \frac{1}{2 \sqrt{t + 1}}.$$

Это и есть выражение для мгновенной скорости тела в момент времени $t$.

Шаг 3: Подставим значение $t = 3$ в выражение для $s'(t)$.

Теперь мы хотим найти мгновенную скорость тела в момент времени $t = 3$. Для этого подставим $t = 3$ в найденную формулу для $s'(t)$:

$$s'(3) = \frac{1}{2 \sqrt{3 + 1}} = \frac{1}{2 \sqrt{4}}.$$

Внутри квадратного корня $3 + 1 = 4$, так что получаем:

$$s'(3) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}.$$

Шаг 4: Ответ.

Мы нашли, что мгновенная скорость тела в момент времени $t = 3$ равна:

$$s'(3) = 0,25.$$

Итог:

Мгновенная скорость тела в момент времени $t = 3$ равна $0,25$.