ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 797 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях х производная функции f (х) равна 1, если:

1. f(x) =x3;
2. f(x)= корень 3 степени x2?

1. $f(x) = x^3$;
   $f'(x) = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$;
   Производная равна единице при:
   $3x^2 = 1$;
   $x^2 = \frac{1}{3}$;
   $x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \sqrt{\frac{3}{9}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$;
   Ответ: $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
2. $f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$;
   $f'(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} — 1} = \frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$;
   Производная равна единице при:
   $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} = 1$;
   $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{3}{2}$;
   $\sqrt[3]{x} = \frac{2}{3}$;
   $x = \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}$;
   Ответ: $\frac{8}{27}$.

1) $f(x) = x^3$

Шаг 1: Запишем исходную функцию.

• Дана функция $f(x) = x^3$.

Шаг 2: Найдем производную функции.

Используем стандартное правило дифференцирования для степенных функций:

$$f'(x) = n \cdot x^{n-1},$$

где $n$ — это показатель степени.

В данном случае $n = 3$, поэтому:

$$f'(x) = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2.$$

Шаг 3: Найдем значения $x$, при которых производная равна единице.

Нам нужно найти $x$, при которых $f'(x) = 1$. Это означает, что:

$$3x^2 = 1.$$

Шаг 4: Решим уравнение $3x^2 = 1$.

Чтобы решить это уравнение, разделим обе стороны на 3:

$$x^2 = \frac{1}{3}.$$

Шаг 5: Извлечем квадратный корень из обеих сторон.

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}.$$

Шаг 6: Упростим выражение.

Мы можем упростить $\sqrt{\frac{1}{3}}$ как:

$$x = \pm \sqrt{\frac{3}{9}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ для первой задачи:

$$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

2) $f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$

Шаг 1: Запишем исходную функцию.

• Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$.

Шаг 2: Найдем производную функции.

Для дифференцирования используем правило для степенной функции $f(x) = x^n$:

$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}.$$

Здесь $n = \frac{2}{3}$, поэтому:

$$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} — 1} = \frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}}.$$

Таким образом, производная:

$$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}.$$

Шаг 3: Найдем значения $x$, при которых производная равна единице.

Нам нужно найти $x$, при которых $f'(x) = 1$. Это означает, что:

$$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} = 1.$$

Шаг 4: Решим уравнение $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} = 1$.

Перемножим обе стороны на $3 \sqrt[3]{x}$ для того, чтобы избавиться от знаменателя:

$$2 = 3 \sqrt[3]{x}.$$

Теперь разделим обе стороны на 3:

$$\sqrt[3]{x} = \frac{2}{3}.$$

Шаг 5: Извлечем кубический корень из обеих сторон.

Теперь возведем обе стороны в куб, чтобы избавиться от кубического корня:

$$x = \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}.$$

Ответ для второй задачи:

$$x = \frac{8}{27}.$$

Итоговые ответы:

1. Ответ для первой задачи: $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
2. Ответ для второй задачи: $\frac{8}{27}$.