ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 796 Алимов — Подробные Ответы

Найти производную функции:

1. 1/(2+3x)2;
2. 1/(3-2x)2;
3. корень 3 степени (3x-2)2;
4. корень 7 степени (3-14x)2;
5. 1/корень 3 степени (3x-7);
6. 1/корень 3 степени (1-2x)2.

1. $f(x) = \frac{1}{(2 + 3x)^2} = (2 + 3x)^{-2}$;
   $f'(x) = -2 \cdot 3 \cdot (2 + 3x)^{-2-1} = -6(2 + 3x)^{-3} = -\frac{6}{(2 + 3x)^3}$;
2. $f(x) = \frac{1}{(3 — 2x)^3} = (3 — 2x)^{-3}$;
   $f'(x) = -3 \cdot (-2) \cdot (3 — 2x)^{-3-1} = 6(3 — 2x)^{-4} = \frac{6}{(3 — 2x)^4}$;
3. $f(x) = \sqrt[3]{(3x — 2)^2} = (3x — 2)^{\frac{2}{3}}$;
   $f'(x) = \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot (3x — 2)^{\frac{2}{3}-1} = 2 \cdot (3x — 2)^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{\sqrt[3]{3x — 2}}$;
4. $f(x) = \sqrt[7]{(3 — 14x)^2} = (3 — 14x)^{\frac{2}{7}}$;
   $f'(x) = \frac{2}{7} \cdot (-14) \cdot (3 — 14x)^{\frac{2}{7}-1} = -4 \cdot (3 — 14x)^{-\frac{5}{7}} = -\frac{4}{\sqrt[7]{(3 — 14x)^5}}$;
5. $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{3x — 7}} = (3x — 7)^{-\frac{1}{3}}$;
   $f'(x) = -\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (3x — 7)^{-\frac{1}{3}-1} = -1 \cdot (3x — 7)^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{(3x — 7)^4}}$;
6. $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{(1 — 2x)^2}} = (1 — 2x)^{-\frac{2}{3}}$;
   $f'(x) = -\frac{2}{3} \cdot (-2) \cdot (1 — 2x)^{-\frac{2}{3}-1} = \frac{4}{3} \cdot (1 — 2x)^{-\frac{5}{3}} = \frac{4}{3\sqrt[3]{(1 — 2x)^5}}$

1) $f(x) = \frac{1}{(2 + 3x)^2} = (2 + 3x)^{-2}$

Шаг 1: Определим форму функции для дифференцирования.

• Исходная функция: $f(x) = \frac{1}{(2 + 3x)^2}$.
• Можно переписать её в виде степени: $f(x) = (2 + 3x)^{-2}$.

Шаг 2: Применим правило дифференцирования для степени.

Правило дифференцирования для функции вида $(g(x))^n$ гласит:

$$\frac{d}{dx} \left[ (g(x))^n \right] = n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x),$$

где $g(x)$ — это внутренняя функция, а $n$ — показатель степени.

Здесь $g(x) = 2 + 3x$, а $n = -2$.

Шаг 3: Найдем производную от внутренней функции $g(x) = 2 + 3x$.

Производная от $g(x) = 2 + 3x$ равна:

$$g'(x) = 3.$$

Шаг 4: Применим правило дифференцирования.

Теперь применим формулу:

$$f'(x) = -2 \cdot (2 + 3x)^{-2 — 1} \cdot 3 = -6 \cdot (2 + 3x)^{-3}.$$

Шаг 5: Упростим окончательно.

Запишем результат в виде дроби:

$$f'(x) = -\frac{6}{(2 + 3x)^3}.$$

2) $f(x) = \frac{1}{(3 — 2x)^3} = (3 — 2x)^{-3}$

Шаг 1: Запишем функцию в виде степени.

• Исходная функция: $f(x) = \frac{1}{(3 — 2x)^3}$.
• Можно переписать её как $f(x) = (3 — 2x)^{-3}$.

Шаг 2: Применим правило дифференцирования для степени.

Здесь $g(x) = 3 — 2x$, а $n = -3$.

Шаг 3: Найдем производную от $g(x) = 3 — 2x$.

Производная от $g(x) = 3 — 2x$:

$$g'(x) = -2.$$

Шаг 4: Применим формулу для производной степени.

Теперь применим правило:

$$f'(x) = -3 \cdot (3 — 2x)^{-3 — 1} \cdot (-2) = 6 \cdot (3 — 2x)^{-4}.$$

Шаг 5: Упростим результат.

Запишем результат в виде дроби:

$$f'(x) = \frac{6}{(3 — 2x)^4}.$$

3) $f(x) = \sqrt[3]{(3x — 2)^2} = (3x — 2)^{\frac{2}{3}}$

Шаг 1: Запишем функцию в виде степени.

• Исходная функция: $f(x) = \sqrt[3]{(3x — 2)^2}$.
• Это можно переписать как $f(x) = (3x — 2)^{\frac{2}{3}}$.

Шаг 2: Применим правило дифференцирования для степени.

Здесь $g(x) = 3x — 2$, а $n = \frac{2}{3}$.

Шаг 3: Найдем производную от $g(x) = 3x — 2$.

Производная от $g(x) = 3x — 2$ равна:

$$g'(x) = 3.$$

Шаг 4: Применим формулу для производной степени.

Теперь применим правило:

$$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot (3x — 2)^{\frac{2}{3} — 1} = 2 \cdot (3x — 2)^{-\frac{1}{3}}.$$

Шаг 5: Запишем окончательный результат.

Мы можем записать это как:

$$f'(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{3x — 2}}.$$

4) $f(x) = \sqrt[7]{(3 — 14x)^2} = (3 — 14x)^{\frac{2}{7}}$

Шаг 1: Запишем функцию в виде степени.

• Исходная функция: $f(x) = \sqrt[7]{(3 — 14x)^2}$.
• Это можно переписать как $f(x) = (3 — 14x)^{\frac{2}{7}}$.

Шаг 2: Применим правило дифференцирования для степени.

Здесь $g(x) = 3 — 14x$, а $n = \frac{2}{7}$.

Шаг 3: Найдем производную от $g(x) = 3 — 14x$.

Производная от $g(x) = 3 — 14x$ равна:

$$g'(x) = -14.$$

Шаг 4: Применим формулу для производной степени.

Теперь применим правило:

$$f'(x) = \frac{2}{7} \cdot (-14) \cdot (3 — 14x)^{\frac{2}{7} — 1} = -4 \cdot (3 — 14x)^{-\frac{5}{7}}.$$

Шаг 5: Запишем окончательный результат.

Запишем производную в виде дроби:

$$f'(x) = -\frac{4}{\sqrt[7]{(3 — 14x)^5}}.$$

5) $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{3x — 7}} = (3x — 7)^{-\frac{1}{3}}$

Шаг 1: Запишем функцию в виде степени.

• Исходная функция: $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{3x — 7}}$.
• Это можно переписать как $f(x) = (3x — 7)^{-\frac{1}{3}}$.

Шаг 2: Применим правило дифференцирования для степени.

Здесь $g(x) = 3x — 7$, а $n = -\frac{1}{3}$.

Шаг 3: Найдем производную от $g(x) = 3x — 7$.

Производная от $g(x) = 3x — 7$ равна:

$$g'(x) = 3.$$

Шаг 4: Применим формулу для производной степени.

Теперь применим правило:

$$f'(x) = -\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (3x — 7)^{-\frac{1}{3} — 1} = -1 \cdot (3x — 7)^{-\frac{4}{3}}.$$

Шаг 5: Запишем окончательный результат.

Запишем производную в виде дроби:

$$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt[3]{(3x — 7)^4}}.$$

6) $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{(1 — 2x)^2}} = (1 — 2x)^{-\frac{2}{3}}$

Шаг 1: Запишем функцию в виде степени.

• Исходная функция: $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{(1 — 2x)^2}}$.
• Это можно переписать как $f(x) = (1 — 2x)^{-\frac{2}{3}}$.

Шаг 2: Применим правило дифференцирования для степени.

Здесь $g(x) = 1 — 2x$, а $n = -\frac{2}{3}$.

Шаг 3: Найдем производную от $g(x) = 1 — 2x$.

Производная от $g(x) = 1 — 2x$ равна:

$$g'(x) = -2.$$

Шаг 4: Применим формулу для производной степени.

Теперь применим правило:

$$f'(x) = -\frac{2}{3} \cdot (-2) \cdot (1 — 2x)^{-\frac{2}{3} — 1} = \frac{4}{3} \cdot (1 — 2x)^{-\frac{5}{3}}.$$

Шаг 5: Запишем окончательный результат.

Запишем производную в виде дроби:

$$f'(x) = \frac{4}{3 \sqrt[3]{(1 — 2x)^5}}.$$