ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 795 Алимов — Подробные Ответы

На рисунке 107 изображён график функции, являющейся производной одной из функций у = х2, у = х3 или у=х1/2. Установить функцию.

Найдем производные всех представленных функций:

$$y = x^2, \text{значит } y'(x) = 2 \cdot x^{2-1} = 2x;$$ $$y = x^3, \text{значит } y'(x) = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2;$$ $$y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}, \text{значит } y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}};$$

На рисунке 107 изображена парабола, значит $y'(x) = 3x^2$;

Ответ: $y = x^3$.

1. Нахождение производных для указанных функций

1.1. Первая функция: $y = x^2$

Функция: $y = x^2$

Шаг 1: Применим стандартное правило для нахождения производной от степенной функции:

$$y = x^n \Rightarrow y'(x) = n \cdot x^{n-1}$$

Шаг 2: Для $y = x^2$, где $n = 2$, получаем:

$$y'(x) = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$$

Ответ: $y'(x) = 2x$

1.2. Вторая функция: $y = x^3$

Функция: $y = x^3$

Шаг 1: Применим то же самое правило:

$$y = x^n \Rightarrow y'(x) = n \cdot x^{n-1}$$

Шаг 2: Для $y = x^3$, где $n = 3$, получаем:

$$y'(x) = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$$

Ответ: $y'(x) = 3x^2$

1.3. Третья функция: $y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

Функция: $y = x^{\frac{1}{2}}$ или $y = \sqrt{x}$

Шаг 1: Применим правило для степенной функции:

$$y = x^n \Rightarrow y'(x) = n \cdot x^{n-1}$$

Шаг 2: Для $y = x^{\frac{1}{2}}$, где $n = \frac{1}{2}$, получаем:

$$y'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: $y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. Анализ рисунка 107

На рисунке 107 изображена парабола. Мы должны определить, какая из предложенных функций может быть представлена этим графиком. Мы знаем, что производная функции $y = x^3$ имеет вид $y’ = 3x^2$, а график параболы характерен для квадратной функции, то есть он будет связан с производной степени 2.

Шаг 1: Посмотрим на функции, которые мы нашли ранее:

• $y = x^2$ — производная от этой функции будет $y'(x) = 2x$, что представляет собой прямую линию.
• $y = x^3$ — производная будет $y'(x) = 3x^2$, и это будет парабола, так как производная этой функции имеет вид квадратичной функции.
• $y = x^{\frac{1}{2}}$ — производная $y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, и эта производная не представляет собой параболу.

Шаг 2: У нас есть парабола, на которой производная выглядит как $3x^2$, что совпадает с производной функции $y = x^3$. Это подтверждает, что исходная функция, чей график изображен на рисунке, — это $y = x^3$.

Ответ: Функция, соответствующая графику на рисунке, — это $y = x^3$.

3. Итоговое решение

1. Для функции $y = x^2$ производная $y'(x) = 2x$.
2. Для функции $y = x^3$ производная $y'(x) = 3x^2$.
3. Для функции $y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ производная $y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
4. На рисунке 107 изображена парабола, которая соответствует производной функции $y = x^3$, потому что её производная $y’ = 3x^2$.

Ответ: $y = x^3$.