ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 791 Алимов — Подробные Ответы

1. (4x-3)2;
2. (5x+3)^-3;
3. (1-2x)^-6;
4. (2-5x)4;
5. (2x)3;
6. (-5x)4.

1. $f(x) = (4x — 3)^2$;
   $f'(x) = 2 \cdot 4 \cdot (4x — 3)^{2-1} = 8(4x — 3) = 32x — 24$;
2. $f(x) = (5x + 2)^{-3}$;
   $f'(x) = -3 \cdot 5 \cdot (5x + 2)^{-3-1} = -15(5x + 2)^{-4} = -\frac{15}{(5x + 2)^4}$;
3. $f(x) = (1 — 2x)^{-6}$;
   $f'(x) = -6 \cdot (-2) \cdot (1 — 2x)^{-6-1} = 12(1 — 2x)^{-7} = \frac{12}{(1 — 2x)^7}$;
4. $f(x) = (2 — 5x)^4$;
   $f'(x) = 4 \cdot (-5) \cdot (2 — 5x)^{4-1} = -20(2 — 5x)^3$;
5. $f(x) = (2x)^3$;
   $f'(x) = 3 \cdot 2 \cdot (2x)^{3-1} = 6 \cdot (2x)^2 = 6 \cdot 4x^2 = 24x^2$;
6. $f(x) = (-5x)^4$;
   $f'(x) = 4 \cdot (-5) \cdot (-5x)^{4-1} = -20 \cdot (-5x)^3 = -20 \cdot (-125x^3) = 2500x^3$

Пример 1:

Дано: $f(x) = (4x — 3)^2$

1. Функция: $f(x) = (4x — 3)^2$. Это композиция функций: внешняя функция $g(u) = u^2$, где $u = 4x — 3$.
2. Шаг 1: Применяем правило дифференцирования композиции функций (цепное правило). Для функции $f(x) = g(u) = u^2$ производная будет:

   $$f'(x) = 2u \cdot u'(x)$$

   где $u = 4x — 3$ и $u'(x) = 4$.

3. Шаг 2: Подставляем $u = 4x — 3$ и $u'(x) = 4$ в выражение для производной:

   $$f'(x) = 2(4x — 3) \cdot 4 = 8(4x — 3)$$

4. Шаг 3: Упростим результат:

   $$f'(x) = 8(4x — 3) = 32x — 24$$

Ответ: производная функции $f(x) = (4x — 3)^2$ равна $f'(x) = 32x — 24$.

Пример 2:

Дано: $f(x) = (5x + 2)^{-3}$

1. Функция: $f(x) = (5x + 2)^{-3}$. Это композиция функций: внешняя функция $g(u) = u^{-3}$, где $u = 5x + 2$.
2. Шаг 1: Применяем цепное правило для дифференцирования:

   $$f'(x) = -3u^{-4} \cdot u'(x)$$

   где $u = 5x + 2$ и $u'(x) = 5$.

3. Шаг 2: Подставляем $u = 5x + 2$ и $u'(x) = 5$ в выражение для производной:

   $$f'(x) = -3(5x + 2)^{-4} \cdot 5 = -15(5x + 2)^{-4}$$

4. Шаг 3: Упростим результат:

   $$f'(x) = -\frac{15}{(5x + 2)^4}$$

Ответ: производная функции $f(x) = (5x + 2)^{-3}$ равна $f'(x) = -\frac{15}{(5x + 2)^4}$.

Пример 3:

Дано: $f(x) = (1 — 2x)^{-6}$

1. Функция: $f(x) = (1 — 2x)^{-6}$. Это композиция функций: внешняя функция $g(u) = u^{-6}$, где $u = 1 — 2x$.
2. Шаг 1: Применяем цепное правило:

   $$f'(x) = -6u^{-7} \cdot u'(x)$$

   где $u = 1 — 2x$ и $u'(x) = -2$.

3. Шаг 2: Подставляем $u = 1 — 2x$ и $u'(x) = -2$ в выражение для производной:

   $$f'(x) = -6(1 — 2x)^{-7} \cdot (-2) = 12(1 — 2x)^{-7}$$

4. Шаг 3: Упростим результат:

   $$f'(x) = \frac{12}{(1 — 2x)^7}$$

Ответ: производная функции $f(x) = (1 — 2x)^{-6}$ равна $f'(x) = \frac{12}{(1 — 2x)^7}$.

Пример 4:

Дано: $f(x) = (2 — 5x)^4$

1. Функция: $f(x) = (2 — 5x)^4$. Это композиция функций: внешняя функция $g(u) = u^4$, где $u = 2 — 5x$.
2. Шаг 1: Применяем цепное правило:

   $$f'(x) = 4u^3 \cdot u'(x)$$

   где $u = 2 — 5x$ и $u'(x) = -5$.

3. Шаг 2: Подставляем $u = 2 — 5x$ и $u'(x) = -5$ в выражение для производной:

   $$f'(x) = 4(2 — 5x)^3 \cdot (-5) = -20(2 — 5x)^3$$

Ответ: производная функции $f(x) = (2 — 5x)^4$ равна $f'(x) = -20(2 — 5x)^3$.

Пример 5:

Дано: $f(x) = (2x)^3$

1. Функция: $f(x) = (2x)^3$. Это степень произведения, и нам нужно дифференцировать по переменной $x$.
2. Шаг 1: Используем стандартное правило дифференцирования степенной функции:

   $$f'(x) = 3 \cdot (2x)^{3-1} \cdot \frac{d}{dx}(2x)$$

   Производная $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.

3. Шаг 2: Подставляем в выражение для производной:

   $$f'(x) = 3 \cdot 2 \cdot (2x)^2 = 6 \cdot (2x)^2$$

4. Шаг 3: Упростим результат:

   $$f'(x) = 6 \cdot 4x^2 = 24x^2$$

Ответ: производная функции $f(x) = (2x)^3$ равна $f'(x) = 24x^2$.

Пример 6:

Дано: $f(x) = (-5x)^4$

1. Функция: $f(x) = (-5x)^4$. Мы используем правило дифференцирования для степенной функции с отрицательным коэффициентом.
2. Шаг 1: Применяем стандартное правило дифференцирования степенной функции:

   $$f'(x) = 4 \cdot (-5) \cdot (-5x)^{4-1} = -20 \cdot (-5x)^3$$

3. Шаг 2: Упростим результат:

   $$f'(x) = -20 \cdot (-125x^3) = 2500x^3$$

Ответ: производная функции $f(x) = (-5x)^4$ равна $f'(x) = 2500x^3$.

Итоговые выводы:

Во всех этих примерах мы использовали цепное правило для дифференцирования сложных функций, которые являются композицией нескольких функций. В случае степенных функций мы применяли стандартное правило дифференцирования $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$, а также учитывали наличие множителей, таких как $2x$, $-5x$ и другие.

1. $f(x) = (4x — 3)^2$ => $f'(x) = 32x — 24$
2. $f(x) = (5x + 2)^{-3}$ => $f'(x) = -\frac{15}{(5x + 2)^4}$
3. $f(x) = (1 — 2x)^{-6}$ => $f'(x) = \frac{12}{(1 — 2x)^7}$
4. $f(x) = (2 — 5x)^4$ => $f'(x) = -20(2 — 5x)^3$
5. $f(x) = (2x)^3$ => $f'(x) = 24x^2$
6. $f(x) = (-5x)^4$ => $f'(x) = 2500x^3$