ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 788 Алимов — Подробные Ответы

1. x^-2;
2. x^-3;
3. x^-4;
4. x^-7.

1. $f(x)=x^{-2}$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^{-2}{)}^{\mathrm{\prime }}=-2\cdot x^{-2-1}=-2\cdot x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$;
2. $f(x)=x^{-3}$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^{-3}{)}^{\mathrm{\prime }}=-3\cdot x^{-3-1}=-3\cdot x^{-4}=-\frac{3}{x^4}$;
3. $f(x)=x^{-4}$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^{-4}{)}^{\mathrm{\prime }}=-4\cdot x^{-4-1}=-4\cdot x^{-5}=-\frac{4}{x^5}$;
4. $f(x)=x^{-7}$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^{-7}{)}^{\mathrm{\prime }}=-7\cdot x^{-7-1}=-7\cdot x^{-8}=-\frac{7}{x^8}$

Пример 1:

Дано: $f(x)=x^{-2}$

Нам нужно найти производную функции $f(x)$. Для этого используем правило дифференцирования степенных функций:

$$\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=n\cdot x^{n-1}$$

где $n$ — степень числа $x$.

1. Функция: $f(x)=x^{-2}$. Здесь степень $n=-2$.
2. Применение правила дифференцирования:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{-2}\right)=-2\cdot x^{-2-1}=-2\cdot x^{-3}$$
3. Запись результата:
   Теперь, чтобы выразить результат в более удобной форме, можем воспользоваться свойством степеней с отрицательными показателями: 

   $$x^{-3}=\frac{1}{x^3}$$

   Поэтому производная будет:

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2\cdot \frac{1}{x^3}=-\frac{2}{x^3}$$

Ответ: производная функции $f(x)=x^{-2}$ равна $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{2}{x^3}$.

Пример 2:

Дано: $f(x)=x^{-3}$

1. Функция: $f(x)=x^{-3}$. Здесь степень $n=-3$.
2. Применение правила дифференцирования:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{-3}\right)=-3\cdot x^{-3-1}=-3\cdot x^{-4}$$
3. Запись результата:
   Применяем свойство степени с отрицательным показателем: 

   $$x^{-4}=\frac{1}{x^4}$$

   Таким образом, производная будет:

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3\cdot \frac{1}{x^4}=-\frac{3}{x^4}$$

Ответ: производная функции $f(x)=x^{-3}$ равна $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{3}{x^4}$.

Пример 3:

Дано: $f(x)=x^{-4}$

1. Функция: $f(x)=x^{-4}$. Здесь степень $n=-4$.
2. Применение правила дифференцирования:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{-4}\right)=-4\cdot x^{-4-1}=-4\cdot x^{-5}$$
3. Запись результата:
   Используя свойство степеней с отрицательными показателями: 

   $$x^{-5}=\frac{1}{x^5}$$

   Таким образом, производная будет:

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-4\cdot \frac{1}{x^5}=-\frac{4}{x^5}$$

Ответ: производная функции $f(x)=x^{-4}$ равна $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{4}{x^5}$.

Пример 4:

Дано: $f(x)=x^{-7}$

1. Функция: $f(x)=x^{-7}$. Здесь степень $n=-7$.
2. Применение правила дифференцирования:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{-7}\right)=-7\cdot x^{-7-1}=-7\cdot x^{-8}$$
3. Запись результата:
   Применяем свойство степени с отрицательным показателем: 

   $$x^{-8}=\frac{1}{x^8}$$

   Таким образом, производная будет:

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-7\cdot \frac{1}{x^8}=-\frac{7}{x^8}$$

Ответ: производная функции $f(x)=x^{-7}$ равна $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{7}{x^8}$.

Итоговые выводы:

Для всех этих примеров применялось стандартное правило дифференцирования степенных функций с отрицательными показателями степени. В каждом случае:

• Мы умножали коэффициент степени на уменьшенную на 1 степень $x$.
• При наличии отрицательной степени, использовали правило, что $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$

1. $f(x)=x^{-2}$ => $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{2}{x^3}$
2. $f(x)=x^{-3}$ => $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{3}{x^4}$
3. $f(x)=x^{-4}$ => $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{4}{x^5}$
4. $f(x)=x^{-7}$ => $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{7}{x^8}$