ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 786 Алимов — Подробные Ответы

Используя определение предела функции в точке, выяснить, является ли верным равенство:

1. lim х- > 1(2х + 1) = 3;
2. lim х — > 2 х2 = 4.

$\lim_{x \to 1} (2x + 1) = 3$;

Первое неравенство:

$$|x — x_0| = |x — 1| < \delta;$$

Второе неравенство:

$$|f(x) — A| = |2x + 1 — 3| = |2x — 2| = 2|x — 1| < \varepsilon;$$ $$|x — 1| < \frac{\varepsilon}{2};$$

Оба неравенства выполняются при:

$$\delta = \frac{\varepsilon}{2};$$

Существует число $\delta$, удовлетворяющее определению, значит предел данной функции верный, что и требовалось доказать.

$\lim_{x \to 2} x^2 = 4$;

Первое неравенство:

$$|x — x_0| = |x — 2| < \delta;$$

Второе неравенство:

$$|f(x) — A| = |x^2 — 4| = |(x — 2)(x + 2)| < \varepsilon;$$

Оба неравенства выполняются при:

$$\delta |x + 2| = \delta |(x — 2) + 4| = \delta (|x — 2| + |4|) = \delta^2 + 4\delta;$$ $$\delta^2 + 4\delta = \varepsilon;$$ $$\delta^2 + 4\delta — \varepsilon = 0;$$ $$D = 4^2 + 4\varepsilon = 16 + 4\varepsilon = 4(4 + \varepsilon), \text{ тогда: }$$ $$\delta_1 = \frac{-4 + 2\sqrt{4 + \varepsilon}}{2} = -2 + \sqrt{4 + \varepsilon} \ (\sqrt{4 + \varepsilon} > 2, \text{ значит } \delta_1 > 0);$$

Существует число $\delta$, удовлетворяющее определению, значит предел данной функции верный, что и требовалось доказать.

Задача 1:

Найти предел: $\lim_{x \to 1} (2x + 1)$

Решение:

Формулировка предела:

Нужно доказать, что:

$$\lim_{x \to 1} (2x + 1) = 3$$

Сначала вспомним определение предела функции: для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$, такое что если $0 < |x — x_0| < \delta$, то выполняется неравенство $|f(x) — L| < \varepsilon$, где $f(x)$ — функция, $L$ — предел, а $x_0$ — точка, к которой стремится $x$.

В данном случае:

• $f(x) = 2x + 1$
• $x_0 = 1$
• $L = 3$

Первое неравенство:

Рассмотрим $x$, стремящийся к 1:

$$|x — 1| < \delta$$

Это означает, что мы ограничиваем $x$ расстоянием от 1, которое меньше $\delta$.

Второе неравенство:

Теперь, используя функцию $f(x) = 2x + 1$, нам нужно доказать, что:

$$|f(x) — 3| = |2x + 1 — 3| = |2x — 2| = 2|x — 1|$$

Таким образом, нам нужно, чтобы:

$$2|x — 1| < \varepsilon$$

Разделим обе части неравенства на 2:

$$|x — 1| < \frac{\varepsilon}{2}$$

Определение $\delta$:

Мы видим, что $|x — 1| < \frac{\varepsilon}{2}$ является необходимым условием для выполнения неравенства $|f(x) — 3| < \varepsilon$. Таким образом, мы можем выбрать:

$$\delta = \frac{\varepsilon}{2}$$

Вывод:

Существуют такие $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$, что выполняется условие $0 < |x — 1| < \delta$, и соответственно $|f(x) — 3| < \varepsilon$. Это и означает, что предел существует и равен 3.

$$\lim_{x \to 1} (2x + 1) = 3$$

Что и требовалось доказать.

Задача 2:

Найти предел: $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$

Решение:

Формулировка предела:

Нужно доказать, что:

$$\lim_{x \to 2} x^2 = 4$$

Сначала напоминаем, что в данном случае $f(x) = x^2$, $x_0 = 2$ и $L = 4$.

Первое неравенство:

Рассмотрим $x$, стремящийся к 2:

$$|x — 2| < \delta$$

То есть, мы ограничиваем $x$ расстоянием от 2, которое меньше $\delta$.

Второе неравенство:

Теперь, используя функцию $f(x) = x^2$, нам нужно доказать, что:

$$|f(x) — 4| = |x^2 — 4|$$

Разложим $x^2 — 4$ через формулу разности квадратов:

$$|x^2 — 4| = |(x — 2)(x + 2)|$$

Таким образом, нам нужно, чтобы:

$$|(x — 2)(x + 2)| < \varepsilon$$

Это неравенство можно переписать как:

$$|x — 2| \cdot |x + 2| < \varepsilon$$

Оценка выражения $x + 2$:

Так как $x$ стремится к 2, то $x + 2$ будет стремиться к 4. Мы можем утверждать, что для значений $x$, близких к 2, значение $|x + 2|$ будет ограничено числом, которое можно оценить как:

$$|x + 2| < 4 + \delta$$

Это важно, так как позволяет нам выразить второе неравенство через $\delta$.

Выбор $\delta$:

Теперь можно найти зависимость между $\delta$ и $\varepsilon$. Используем оценку:

$$|x — 2| \cdot |x + 2| < \varepsilon$$

Подставим $|x + 2| < 4 + \delta$ в неравенство:

$$|x — 2| \cdot (4 + \delta) < \varepsilon$$

Таким образом, $|x — 2|$ можно выразить как:

$$|x — 2| < \frac{\varepsilon}{4 + \delta}$$

Для небольших $\delta$ мы можем принять приближенное значение $4 + \delta \approx 4$, и тогда:

$$|x — 2| < \frac{\varepsilon}{4}$$

Определение $\delta$:

Сравнив это с предыдущим выражением, мы получаем, что для выбора $\delta$ достаточно взять:

$$\delta = \frac{\varepsilon}{4}$$

Решение квадратного уравнения:

Рассмотрим более точное приближение для $\delta$. Мы можем решить уравнение с учетом более точных значений:

$$\delta^2 + 4\delta = \varepsilon$$

Это приводит к квадратному уравнению:

$$\delta^2 + 4\delta — \varepsilon = 0$$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$$D = 4^2 + 4\varepsilon = 16 + 4\varepsilon = 4(4 + \varepsilon)$$

Извлечем корень из дискриминанта и решим для $\delta$:

$$\delta_1 = \frac{-4 + 2\sqrt{4 + \varepsilon}}{2} = -2 + \sqrt{4 + \varepsilon}$$

Так как $\sqrt{4 + \varepsilon} > 2$ при $\varepsilon > 0$, мы можем утверждать, что $\delta_1 > 0$.

Вывод:

Существует $\delta = -2 + \sqrt{4 + \varepsilon}$, которое удовлетворяет определению предела, значит предел:

$$\lim_{x \to 2} x^2 = 4$$

Что и требовалось доказать.