ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 783 Алимов — Подробные Ответы

Определить скорость тела, движущегося по закону s (t) = t2 + 2, в момент времени:

1. t = 5;
2. t = 10.

Тело движется по закону $s(t) = t^2 + 2$;

Мгновенная скорость тела:

$$\Delta s = \frac{f(t+h) — f(t)}{h} = \frac{(t+h)^2 + 2 — t^2 — 2}{h} = \frac{t^2 + 2th + h^2 — t^2}{h};$$ $$\Delta s = \frac{2th + h^2}{h} = 2t + h;$$ $$v = \lim_{h \to 0} (2t + h) = 2t + 0 = 2t;$$

1. Если $t = 5$:

   $$v(5) = 2 \cdot 5 = 10;$$Ответ: 10.

2. Если $t = 10$:

   $$v(10) = 2 \cdot 10 = 20;$$Ответ: 20.

Закон движения тела:

$$s(t) = t^2 + 2$$

Нам нужно найти мгновенную скорость тела, используя определение производной через предел. Мгновенная скорость — это производная функции положения $s(t)$ по времени $t$.

Шаг 1: Определение мгновенной скорости через предел

Мгновенная скорость $v(t)$ тела определяется как производная функции положения $s(t)$ по времени $t$:

$$v(t) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t+h) — s(t)}{h}$$

Это стандартное определение производной. В этой формуле $h$ — это малое изменение во времени, а $s(t+h)$ — это положение тела в момент времени $t + h$.

Шаг 2: Подставим выражение для $s(t)$

Наша функция положения:

$$s(t) = t^2 + 2$$

Теперь подставим её в выражение для разности:

$$s(t+h) = (t+h)^2 + 2$$

Раскрываем квадрат:

$$s(t+h) = t^2 + 2th + h^2 + 2$$

Итак, мы получили выражение для $s(t+h)$.

Шаг 3: Находим разность $s(t+h) — s(t)$

Теперь вычислим разность $s(t+h) — s(t)$:

$$s(t+h) — s(t) = \left( t^2 + 2th + h^2 + 2 \right) — \left( t^2 + 2 \right)$$

Видим, что $t^2$ и $2$ сокращаются:

$$s(t+h) — s(t) = 2th + h^2$$

Шаг 4: Разделим на $h$

Теперь делим полученную разность на $h$:

$$\frac{s(t+h) — s(t)}{h} = \frac{2th + h^2}{h}$$

Это выражение можно упростить:

$$\frac{s(t+h) — s(t)}{h} = 2t + h$$

Теперь у нас есть выражение для отношения изменения положения тела к изменению времени $h$.

Шаг 5: Находим предел при $h \to 0$

Теперь вычислим предел этого выражения при $h \to 0$:

$$v(t) = \lim_{h \to 0} (2t + h)$$

Когда $h \to 0$, член $h$ исчезает, и остается:

$$v(t) = 2t$$

Это и есть мгновенная скорость тела $v(t)$.

Ответ:

Мгновенная скорость тела в момент времени $t$ равна $2t$.

Применение найденной формулы для мгновенной скорости:

1) Если $t = 5$:

Теперь, используя формулу для мгновенной скорости $v(t) = 2t$, подставляем $t = 5$:

$$v(5) = 2 \cdot 5 = 10$$

Ответ: $v(5) = 10$.

2) Если $t = 10$:

Теперь подставляем $t = 10$ в формулу для мгновенной скорости:

$$v(10) = 2 \cdot 10 = 20$$

Ответ: $v(10) = 20$.

Итоги:

Мы использовали стандартное определение производной для нахождения мгновенной скорости тела. В результате получили, что мгновенная скорость тела в момент времени $t$ равна $2t$. После этого мы вычислили скорость для конкретных значений времени:

• При $t = 5$ мгновенная скорость равна 10.
• При $t = 10$ мгновенная скорость равна 20.