ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 782 Алимов — Подробные Ответы

Найти мгновенную скорость движения точки, если закон её движения s (t) задан формулой:

1. s(t) =3t2/2;
2. s(t) =5t2.

$s(t) = \frac{3}{2}t^2$;

$$\Delta s = \frac{f(t+h) — f(t)}{h} = \frac{\frac{3}{2}(t+h)^2 — \frac{3}{2}t^2}{h} = \frac{\frac{3}{2}t^2 + 3th + \frac{3}{2}h^2 — \frac{3}{2}t^2}{h};$$ $$\Delta s = \frac{3th — \frac{3}{2}h^2}{h} = 3t — \frac{3}{2}h;$$ $$v = \lim_{h \to 0} \left( 3t — \frac{3}{2}h \right) = 3t — \frac{3}{2} \cdot 0 = 3t;$$

Ответ: $3t$.

$s(t) = 5t^2$;

$$\Delta s = \frac{f(t+h) — f(t)}{h} = \frac{5(t+h)^2 — 5t^2}{h} = \frac{5t^2 + 10th + 5h^2 — 5t^2}{h};$$ $$\Delta s = \frac{10th + 5h^2}{h} = 10t + 5h;$$ $$v = \lim_{h \to 0} (10t + 5h) = 10t + 5 \cdot 0 = 10t;$$

Ответ: $10t$.

Пример 1:

Дана функция:

$$s(t) = \frac{3}{2} t^2$$

Необходимо найти производную этой функции по $t$ с помощью определения производной через предел.

Шаг 1: Запишем определение производной через предел.

Производная функции $f(t)$ в точке $t$ — это предел отношения изменения функции к изменению аргумента при $h \to 0$:

$$v = \lim_{h \to 0} \frac{f(t+h) — f(t)}{h}$$

В нашем случае $f(t) = s(t) = \frac{3}{2} t^2$, и подставляем это в формулу:

$$v = \lim_{h \to 0} \frac{s(t+h) — s(t)}{h}$$

Шаг 2: Найдем $s(t+h)$.

Чтобы продолжить, нам нужно найти $s(t+h)$. Для этого подставляем $t+h$ в исходную функцию $s(t)$:

$$s(t+h) = \frac{3}{2}(t+h)^2$$

Теперь раскрываем квадрат:

$$s(t+h) = \frac{3}{2} \left( t^2 + 2th + h^2 \right)$$

Итак, выражение для $s(t+h)$ становится:

$$s(t+h) = \frac{3}{2} t^2 + 3th + \frac{3}{2} h^2$$

Шаг 3: Подставим $s(t+h)$ и $s(t)$ в формулу для разности.

Теперь можем вычислить разность $s(t+h) — s(t)$:

$$s(t+h) — s(t) = \left( \frac{3}{2} t^2 + 3th + \frac{3}{2} h^2 \right) — \frac{3}{2} t^2$$

Видим, что $\frac{3}{2} t^2$ из двух выражений сокращаются, и остается:

$$s(t+h) — s(t) = 3th + \frac{3}{2} h^2$$

Шаг 4: Разделим на $h$.

Теперь делим полученную разность на $h$:

$$\frac{s(t+h) — s(t)}{h} = \frac{3th + \frac{3}{2} h^2}{h}$$

Это можно записать как:

$$\frac{s(t+h) — s(t)}{h} = 3t + \frac{3}{2} h$$

Шаг 5: Найдем предел при $h \to 0$.

Теперь, чтобы найти производную, вычислим предел этого выражения при $h \to 0$:

$$v = \lim_{h \to 0} \left( 3t + \frac{3}{2} h \right)$$

При $h \to 0$ член $\frac{3}{2} h$ стремится к нулю, и мы получаем:

$$v = 3t$$

Ответ для первого примера: $3t$.

Пример 2:

Дана функция:

$$s(t) = 5t^2$$

Необходимо найти производную этой функции по $t$ с помощью определения производной через предел.

Шаг 1: Запишем определение производной через предел.

Как и в первом примере, для функции $f(t) = s(t) = 5t^2$ производная будет:

$$v = \lim_{h \to 0} \frac{s(t+h) — s(t)}{h}$$

Шаг 2: Найдем $s(t+h)$.

Теперь подставляем $t+h$ в функцию $s(t)$:

$$s(t+h) = 5(t+h)^2$$

Раскрываем квадрат:

$$s(t+h) = 5(t^2 + 2th + h^2)$$

Итак, получаем:

$$s(t+h) = 5t^2 + 10th + 5h^2$$

Шаг 3: Подставим $s(t+h)$ и $s(t)$ в формулу для разности.

Теперь вычислим разность $s(t+h) — s(t)$:

$$s(t+h) — s(t) = \left( 5t^2 + 10th + 5h^2 \right) — 5t^2$$

Сокращаем $5t^2$ из двух выражений:

$$s(t+h) — s(t) = 10th + 5h^2$$

Шаг 4: Разделим на $h$.

Теперь делим на $h$:

$$\frac{s(t+h) — s(t)}{h} = \frac{10th + 5h^2}{h}$$

Это можно записать как:

$$\frac{s(t+h) — s(t)}{h} = 10t + 5h$$

Шаг 5: Найдем предел при $h \to 0$.

Теперь, чтобы найти производную, вычислим предел этого выражения при $h \to 0$:

$$v = \lim_{h \to 0} \left( 10t + 5h \right)$$

При $h \to 0$ член $5h$ стремится к нулю, и получаем:

$$v = 10t$$

Ответ для второго примера: $10t$.

Итоги:

Мы рассмотрели два примера, в которых использовали определение производной через предел. В обоих случаях:

1. Для $s(t) = \frac{3}{2} t^2$ производная оказалась $3t$.
2. Для $s(t) = 5t^2$ производная оказалась $10t$.