ГДЗ Алимов 10-11 Класс по Алгебре Учебник 📕 Колягин, Ткачева — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 780 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Используя определение производной, найти f'(x), если:

f(x) =3x+2;
f(x) =5x+7;
f(x) =3×2-5x;
f(x) =-3×2+2.

Краткий ответ:

1. $f (x) = 3 x + 2$ ;

$Δ f = \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{3 (x + h) + 2 - 3 x - 2}{h} = \frac{3 x + 3 h - 3 x}{h} = \frac{3 h}{h} = 3;$ $f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} 3 = 3;$

Ответ: 3.

2. $f (x) = 5 x + 7$ ;

$Δ f = \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{5 (x + h) + 7 - 5 x - 7}{h} = \frac{5 x + 5 h - 5 x}{h} = \frac{5 h}{h} = 5;$ $f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} 5 = 5;$

Ответ: 5.

3. $f (x) = 3 x^{2} - 5 x$ ;

$Δ f = \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{3 (x + h)^{2} - 5 (x + h) - (3 x^{2} - 5 x)}{h};$ $Δ f = \frac{3 (x^{2} + 2 x h + h^{2}) - 5 x - 5 h - 3 x^{2} + 5 x}{h} =$

$= \frac{3 x^{2} + 6 x h + 3 h^{2} - 5 x - 5 h - 3 x^{2} + 5 x}{h} =$

$= \frac{6 x h + 3 h^{2} - 5 h}{h} = 6 x + 3 h - 5;$ $f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} (6 x + 3 h - 5) = 6 x + 3 \cdot 0 - 5 = 6 x - 5;$

Ответ: $6 x - 5$ .

4. $f (x) = - 3 x^{2} + 2$ ;

$Δ f = \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 3 (x + h)^{2} + 2 - (- 3 x^{2} + 2)}{h};$ $Δ f = \frac{- 3 (x^{2} + 2 x h + h^{2}) + 2 + 3 x^{2} - 2}{h} = \frac{- 3 x^{2} - 6 x h - 3 h^{2} + 3 x^{2}}{h} =$

$= \frac{- 6 x h - 3 h^{2}}{h} = - 6 x - 3 h;$ $f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} (- 6 x - 3 h) = - 6 x - 3 \cdot 0 = - 6 x;$

Ответ: $- 6 x$ .

Подробный ответ:

Нам нужно найти производные для четырех функций, используя определение производной через предел. В каждом случае мы будем вычислять разность функции на малом интервале $h$ и затем вычислять предел этой разности при $h \to 0$ .

Шаг 1: Определение производной через предел

Производная функции $f (x)$ в точке $x$ определяется как предел:

$f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

где:

$f (x + h)$ — это значение функции в точке $x + h$ ,
$f (x)$ — это значение функции в точке $x$ ,
$h$ — это малое приращение переменной $x$ .

Мы будем использовать эту формулу для каждой из заданных функций.

Шаг 2: Решение для функции $f (x) = 3 x + 2$

Подставим функцию $f (x) = 3 x + 2$ в формулу для производной:

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{3 (x + h) + 2 - (3 x + 2)}{h}$

Раскроем скобки и упростим:

$\frac{3 (x + h) + 2 - 3 x - 2}{h} = \frac{3 x + 3 h + 2 - 3 x - 2}{h} = \frac{3 h}{h}$

Упростим дробь:

$= 3$

Теперь вычислим предел при $h \to 0$ :

$f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} 3 = 3$

Ответ для первой функции: $f^{'} (x) = 3$ .

Шаг 3: Решение для функции $f (x) = 5 x + 7$

Подставим функцию $f (x) = 5 x + 7$ в формулу для производной:

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{5 (x + h) + 7 - (5 x + 7)}{h}$

Раскроем скобки и упростим:

$\frac{5 (x + h) + 7 - 5 x - 7}{h} = \frac{5 x + 5 h + 7 - 5 x - 7}{h} = \frac{5 h}{h}$

Упростим дробь:

$= 5$

Теперь вычислим предел при $h \to 0$ :

$f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} 5 = 5$

Ответ для второй функции: $f^{'} (x) = 5$ .

Шаг 4: Решение для функции $f (x) = 3 x^{2} - 5 x$

Подставим функцию $f (x) = 3 x^{2} - 5 x$ в формулу для производной:

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{3 (x + h)^{2} - 5 (x + h) - (3 x^{2} - 5 x)}{h}$

Раскроем скобки и упростим:

$3 (x + h)^{2} = 3 (x^{2} + 2 x h + h^{2}) = 3 x^{2} + 6 x h + 3 h^{2}$ $- 5 (x + h) = - 5 x - 5 h$

Теперь подставляем это в исходное выражение:

$\frac{3 (x^{2} + 2 x h + h^{2}) - 5 (x + h) - (3 x^{2} - 5 x)}{h} = \frac{3 x^{2} + 6 x h + 3 h^{2} - 5 x - 5 h - 3 x^{2} + 5 x}{h}$

Упростим числитель:

$= \frac{6 x h + 3 h^{2} - 5 h}{h}$

Разделим каждое слагаемое на $h$ :

$= 6 x + 3 h - 5$

Теперь вычислим предел при $h \to 0$ :

$f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} (6 x + 3 h - 5) = 6 x - 5$

Ответ для третьей функции: $f^{'} (x) = 6 x - 5$ .

Шаг 5: Решение для функции $f (x) = - 3 x^{2} + 2$

Подставим функцию $f (x) = - 3 x^{2} + 2$ в формулу для производной:

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 3 (x + h)^{2} + 2 - (- 3 x^{2} + 2)}{h}$

Раскроем скобки и упростим:

$- 3 (x + h)^{2} = - 3 (x^{2} + 2 x h + h^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x h - 3 h^{2}$ $- (- 3 x^{2} + 2) = 3 x^{2} - 2$

Теперь подставляем это в исходное выражение:

$\frac{- 3 (x^{2} + 2 x h + h^{2}) + 2 + 3 x^{2} - 2}{h} = \frac{- 3 x^{2} - 6 x h - 3 h^{2} + 3 x^{2}}{h}$

Упростим числитель:

$= \frac{- 6 x h - 3 h^{2}}{h}$

Разделим каждое слагаемое на $h$ :

$= - 6 x - 3 h$

Теперь вычислим предел при $h \to 0$ :

$f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} (- 6 x - 3 h) = - 6 x$

Ответ для четвертой функции: $f^{'} (x) = - 6 x$ .

Итоговое решение:

Для функции $f (x) = 3 x + 2$ :

$f^{'} (x) = 3$

Для функции $f (x) = 5 x + 7$ :

$f^{'} (x) = 5$

Для функции $f (x) = 3 x^{2} - 5 x$ :

$f^{'} (x) = 6 x - 5$

Для функции $f (x) = - 3 x^{2} + 2$ :

$f^{'} (x) = - 6 x$

Оцени решение