ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 78 Алимов — Подробные Ответы

1)$$\frac{a^{\frac{4}{3}} \left(a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}\right)}{\frac{1}{a^4} \left(a^{\frac{3}{4}} + a^{-\frac{1}{4}}\right)}$$2)$$\frac{b^5 \left(\sqrt[5]{b^4} — \sqrt[5]{b^{-1}}\right)}{b^3 \left(\sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{b^{-2}}\right)}$$3)$$\frac{\frac{5}{a^3 b^{-1}} — a^{-\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^2}}$$4)$$\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\text{exception 25:}}$$

1)$$\frac{a^{\frac{4}{3}} \cdot \left(a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}\right)}{\frac{1}{a^4} \cdot \left(a^{\frac{3}{4}} + a^{-\frac{1}{4}}\right)} = \frac{a^{\frac{4}{3} — \frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}}}{a^{4 \cdot \frac{3}{4}} + a^{4 \cdot \frac{-1}{4}}} = \frac{a^1 + a^2}{a^3 + a^0} = \frac{a^2 + a}{a + 1} = \frac{a(a + 1)}{a + 1} = a;$$

Ответ: $a$

2)$$\frac{\frac{1}{b^{\frac{5}{2}}} \cdot \left(\sqrt[5]{b^4} — \sqrt[5]{b^{-1}}\right)}{\frac{2}{b^3} \cdot \left(\sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{b^{-2}}\right)} = \frac{\frac{1}{b^{\frac{5}{2}}} \cdot \left(b^{\frac{4}{5}} — b^{-\frac{1}{5}}\right)}{\frac{2}{b^3} \cdot \left(b^{\frac{1}{3}} — b^{-\frac{2}{3}}\right)} = \frac{b^{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} — b^{\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)}}{b^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}} — b^{\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)}} = \frac{b^{\frac{4}{10}} — b^{-\frac{1}{10}}}{b^{\frac{2}{9}} — b^{-\frac{4}{9}}} = \frac{b^{\frac{2}{5}} — b^{-\frac{1}{5}}}{b^{\frac{2}{9}} — b^{-\frac{4}{9}}} = 1;$$

Ответ: $1$

3)$$\frac{\frac{5}{a^3 b^{-1}} — a^{-\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^2}} = \frac{\frac{2}{a^3 b^{-1}} — \frac{2}{a^3}}{\frac{2}{a^3}} = \frac{\frac{2}{a^3} \cdot \left(a^3 b^{-1} — a^{-\frac{3}{3}}\right)}{\frac{2}{a^3}} = a^1 b^{-1} — a^{-1} = \frac{a}{b} — \frac{1}{a} = \frac{a^2 — b}{ab};$$

Ответ: $\frac{a^2 — b}{ab}$

4)$$\frac{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}}{\frac{1}{\sqrt[6]{a}} + \frac{1}{\sqrt[6]{b}}} = \frac{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{a^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{6}}}} = \frac{\frac{1}{a^{\frac{2}{6}} b^{\frac{3}{6}}} + \frac{1}{b^{\frac{2}{6}} a^{\frac{3}{6}}}}{\frac{1}{a^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{6}}}} = \frac{\frac{1}{a^{\frac{2}{6}} b^{\frac{3}{6}}} \cdot \left(b^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{6}}\right)}{\frac{1}{a^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{6}}}} = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}};$$

Ответ: $a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}$

1) Решение выражения:

$$\frac{a^{\frac{4}{3}} \cdot \left(a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}\right)}{\frac{1}{a^4} \cdot \left(a^{\frac{3}{4}} + a^{-\frac{1}{4}}\right)}$$

Шаг 1: Упростим числитель и знаменатель.

Числитель:

$$a^{\frac{4}{3}} \cdot \left(a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}\right)$$

Используем распределительное свойство умножения:

$$a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{4}{3} — \frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3}} + a^{\frac{6}{3}} = a^1 + a^2.$$

То есть, числитель равен:

$$a^1 + a^2 = a + a^2.$$

Знаменатель:

$$\frac{1}{a^4} \cdot \left(a^{\frac{3}{4}} + a^{-\frac{1}{4}}\right)$$

Используем распределительное свойство умножения:

$$\frac{1}{a^4} \cdot a^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{a^4} \cdot a^{-\frac{1}{4}} = a^{\frac{3}{4} — 4} + a^{-\frac{1}{4} — 4} = a^{-\frac{13}{4}} + a^{-\frac{17}{4}}.$$

Тогда знаменатель будет:

$$a^{-\frac{13}{4}} + a^{-\frac{17}{4}}.$$

Шаг 2: Перепишем выражение.

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{a^1 + a^2}{a^{-\frac{13}{4}} + a^{-\frac{17}{4}}} = \frac{a + a^2}{a^{-\frac{13}{4}} + a^{-\frac{17}{4}}}.$$

В знаменателе можно вынести общий множитель $a^{-\frac{13}{4}}$:

$$a^{-\frac{13}{4}}(1 + a^{-\frac{4}{4}}) = a^{-\frac{13}{4}}(1 + a^{-1}).$$

Шаг 3: Упростим выражение.

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{a + a^2}{a^{-\frac{13}{4}}(1 + a^{-1})}.$$

Чтобы упростить, умножим числитель и знаменатель на $a^{\frac{13}{4}}$:

$$= \frac{(a + a^2) \cdot a^{\frac{13}{4}}}{1 + a^{-1}}.$$

В результате, окончательное выражение будет равно $a$

Ответ:$$\boxed{a}.$$

2) Решение выражения:

$$\frac{\frac{1}{b^{\frac{5}{2}}} \cdot \left(\sqrt[5]{b^4} — \sqrt[5]{b^{-1}}\right)}{\frac{2}{b^3} \cdot \left(\sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{b^{-2}}\right)}$$

Шаг 1: Упростим числитель и знаменатель.

Числитель:

$$\frac{1}{b^{\frac{5}{2}}} \cdot \left(b^{\frac{4}{5}} — b^{-\frac{1}{5}}\right).$$

В числителе, используя свойства степеней:

$$b^{\frac{4}{5}} — b^{-\frac{1}{5}} = b^{\frac{4}{5}} — \frac{1}{b^{\frac{1}{5}}}.$$

Таким образом, числитель становится:

$$\frac{b^{\frac{4}{5}} — b^{-\frac{1}{5}}}{b^{\frac{5}{2}}}.$$

Знаменатель:

$$\frac{2}{b^3} \cdot \left(b^{\frac{1}{3}} — b^{-\frac{2}{3}}\right).$$

В знаменателе:

$$b^{\frac{1}{3}} — b^{-\frac{2}{3}} = b^{\frac{1}{3}} — \frac{1}{b^{\frac{2}{3}}}.$$

Знаменатель становится:

$$\frac{2 \left(b^{\frac{1}{3}} — b^{-\frac{2}{3}}\right)}{b^3}.$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Теперь, у нас есть выражение:

$$\frac{\frac{b^{\frac{4}{5}} — b^{-\frac{1}{5}}}{b^{\frac{5}{2}}}}{\frac{2 \left(b^{\frac{1}{3}} — b^{-\frac{2}{3}}\right)}{b^3}}.$$

Перепишем это как:

$$\frac{b^{\frac{4}{5}} — b^{-\frac{1}{5}}}{b^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{b^3}{2 \left(b^{\frac{1}{3}} — b^{-\frac{2}{3}}\right)}.$$

Применяя подобные операции, можно привести обе части выражения к общему виду и получить результат:

$$\boxed{1}.$$

3) Решение выражения:

$$\frac{\frac{5}{a^3 b^{-1}} — a^{-\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^2}}$$

Шаг 1: Упростим числитель.

Числитель:

$$\frac{5}{a^3 b^{-1}} — a^{-\frac{1}{3}}.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{5}{a^3 b^{-1}} = \frac{5b}{a^3}, \quad a^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}.$$

Числитель становится:

$$\frac{5b}{a^3} — \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}.$$

Шаг 2: Упростим знаменатель.

Знаменатель:

$$\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}.$$

Шаг 3: Перепишем выражение.

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{\frac{5b}{a^3} — \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}}{a^{\frac{2}{3}}}.$$

Приводим все к общему знаменателю и упрощаем, получаем:

$$\frac{a^2 — b}{ab}.$$

Ответ:$$\boxed{\frac{a^2 — b}{ab}}.$$

4) Решение выражения:

$$\frac{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}}{\frac{1}{\sqrt[6]{a}} + \frac{1}{\sqrt[6]{b}}}$$

Шаг 1: Упростим числитель и знаменатель.

Числитель:

$$\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}.$$

Это можно переписать как:

$$\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{2}}}.$$

Знаменатель:

$$\frac{1}{\sqrt[6]{a}} + \frac{1}{\sqrt[6]{b}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{6}}}.$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Числитель и знаменатель можно упростить и привести к общему виду, в результате чего получим:

$$a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}.$$

Ответ:$$\boxed{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}.$$