ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 779 Алимов — Подробные Ответы

Закон движения задан формулой s (t) = 0,25t + 2. Найти:

1. среднюю скорость движения от t = 4 до t = 8;
2. скорость движения в моменты t = 4 и t = 8.

Тело движется по закону $s(t)=0,25t+2$;

1. Средняя скорость движения от $t_1=4$ до $t_2=8$:

$$v_{\text{ср}}=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{0,25\cdot 8+2-(0,25\cdot 4+2)}{8-4}=\frac{2-1}{4}=\frac{1}{4}=0,25;$$

Ответ: $0,25$.

2. Мгновенная скорость движения при $t_1=4$ и $t_2=8$:

$$v=\underset{h\to 0}{\lim }{v}_{\text{ср}}=\underset{h\to 0}{\lim }0,25=0,25;$$$$v(4)=0,25\text{и}v(8)=0,25;$$

Ответ: $0,25$.

Тело движется по закону $s(t)=0,25t+2$, где $s(t)$ — это положение тела в момент времени $t$.

Нужно найти:

1. Среднюю скорость движения от $t_1=4$ до $t_2=8$,
2. Мгновенную скорость при $t_1=4$ и $t_2=8$.

Шаг 1: Средняя скорость

Средняя скорость на интервале времени $[t_1,t_2]$ рассчитывается по формуле:

$$v_{\text{ср}}=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}$$

где:

• $s(t_2)$ — положение тела в момент времени $t_2$,
• $s(t_1)$ — положение тела в момент времени $t_1$,
• $t_2-t_1$ — продолжительность интервала времени.

Нам нужно найти среднюю скорость от $t_1=4$ до $t_2=8$.

Подставляем данные в формулу:

Закон движения тела: $s(t)=0,25t+2$.

Находим $s(8)$ и $s(4)$:

• $s(8)=0,25\cdot 8+2=2+2=4$,
• $s(4)=0,25\cdot 4+2=1+2=3$.

Подставляем значения в формулу для средней скорости:

$$v_{\text{ср}}=\frac{s(8)-s(4)}{8-4}=\frac{4-3}{8-4}=\frac{1}{4}$$

Получаем результат:

$$v_{\text{ср}}=0,25$$

Ответ для средней скорости: $v_{\text{ср}}=0,25$.

Шаг 2: Мгновенная скорость

Мгновенная скорость в момент времени $t$ — это производная функции положения $s(t)$ по времени $t$. Мгновенную скорость можно также вычислить через предел средней скорости, когда разница во времени стремится к нулю.

Определение мгновенной скорости:

Мгновенная скорость — это предел средней скорости, когда $h\to 0$, т.е.

$$v=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{s(t+h)-s(t)}{h}$$

Это и есть определение производной для функции $s(t)$.

В данном случае $s(t)=0,25t+2$, и мы ищем мгновенную скорость как производную этой функции.

Дифференцируем $s(t)$ по $t$:

$$\frac{d}{dt}(s(t))=\frac{d}{dt}(0,25t+2)=0,25$$

Получаем, что мгновенная скорость на любом интервале времени (включая $t=4$ и $t=8$) равна $0,25$, поскольку производная от линейной функции с коэффициентом $t$ является постоянной.

Ответ для мгновенной скорости: $v(4)=v(8)=0,25$.

Проверка полученных результатов:

1. Средняя скорость на интервале $[4,8]$ равна $0,25$, что логично, поскольку функция $s(t)=0,25t+2$ — это линейная функция, и скорость не меняется с течением времени.
2. Мгновенная скорость также равна $0,25$ на любом интервале времени, поскольку скорость тела постоянна на всем пути, что подтверждается тем, что производная функции постоянна.

Итоговое решение:

• Средняя скорость от $t_1=4$ до $t_2=8$:

$$v_{\text{ср}}=0,25$$

• Мгновенная скорость при $t_1=4$ и $t_2=8$:

$$v(4)=0,25\text{и}v(8)=0,25$$

Пояснение:

• Средняя скорость на интервале времени равна $0,25$, что логично, так как движение тела осуществляется с постоянной скоростью.
• Мгновенная скорость на интервале $[4;8]$ также равна $0,25$, что подтверждает, что движение тела равномерное, и его скорость не меняется с течением времени.