ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 774 Алимов — Подробные Ответы

Найти множество значений функции:

1. у — 12 sin х — 5 cos х;
2. у = cos2 х — sin х.

1. Дана функция:

$y = 12 \sin x — 5 \cos x$

Найдем множество ее значений.

Решение.

$12 \sin x — 5 \cos x = 13 \sin(x — \varphi), \text{где}$
$\cos \varphi = \frac{12}{13}$
и
$\sin \varphi = \frac{5}{13}$
$\varphi = \arccos \frac{12}{13}$
$y \in [-13; 13]$

Ответ: $y \in [-13; 13]$

2. Дана функция:

$y = \cos^2 x — \sin x$

Найдем множество ее значений.

Решение.

$\cos^2 x — \sin x = 1 — \sin^2 x — \sin x = -\left( \sin^2 x + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin x + \frac{1}{4} \right) + \frac{5}{4} = -\left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{4}$
$-1 \leq y \leq \frac{5}{4}$

Ответ: $-1 \leq y \leq \frac{5}{4}$

1) Дана функция:

$$y = 12 \sin x — 5 \cos x$$

Найдем множество значений этой функции.

Шаг 1: Приведение функции к форме $R \sin(x — \varphi)$

Для того чтобы найти множество значений функции, удобно привести ее к стандартной форме вида:

$$y = R \sin(x — \varphi)$$

где $R$ и $\varphi$ — это амплитуда и фазовый сдвиг. Для этого представим исходную функцию $y = 12 \sin x — 5 \cos x$ как линейную комбинацию синуса и косинуса.

Используем формулу для суммы синуса и косинуса с одинаковыми аргументами:

$$R \sin(x — \varphi) = R (\sin x \cos \varphi — \cos x \sin \varphi)$$

Сравнивая коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$ в исходной функции и преобразованной, получаем:

$$12 = R \cos \varphi$$ $$-5 = R \sin \varphi$$

Шаг 2: Находим $R$ и $\varphi$

Для нахождения $R$ воспользуемся теоремой Пифагора:

$$R = \sqrt{(R \cos \varphi)^2 + (R \sin \varphi)^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

Теперь найдём $\varphi$. Для этого используем определения косинуса и синуса угла $\varphi$:

$$\cos \varphi = \frac{12}{13}, \quad \sin \varphi = \frac{-5}{13}$$

Из этих выражений можно найти $\varphi$, используя арккосинус:

$$\varphi = \arccos \left( \frac{12}{13} \right)$$

Так как $\sin \varphi$ отрицателен, то угол $\varphi$ находится в четвертой четверти.

Шаг 3: Определяем диапазон значений функции

Теперь, когда функция приняла вид $y = 13 \sin(x — \varphi)$, можно легко определить её диапазон. Поскольку $\sin(x — \varphi)$ принимает значения в интервале от -1 до 1, следовательно:

$$y \in [-13, 13]$$

Таким образом, множество значений функции $y = 12 \sin x — 5 \cos x$ — это интервал $[-13, 13]$.

Ответ:

$$y \in [-13, 13]$$

2) Дана функция:

$$y = \cos^2 x — \sin x$$

Найдем множество значений этой функции.

Шаг 1: Перепишем функцию

Для того чтобы найти множество значений функции, сначала перепишем выражение для $y$ через только одну тригонометрическую функцию. Мы знаем, что $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$, поэтому:

$$y = \cos^2 x — \sin x = (1 — \sin^2 x) — \sin x = 1 — \sin^2 x — \sin x$$

Теперь представим выражение $y = 1 — \sin^2 x — \sin x$ в более удобной для анализа форме.

Шаг 2: Преобразуем выражение

Мы видим, что выражение $1 — \sin^2 x — \sin x$ можно преобразовать следующим образом:

$$y = -\left( \sin^2 x + \sin x \right) + 1$$

Далее дополнительно преобразуем квадрат выражения $\sin x + \frac{1}{2}$:

$$\sin^2 x + \sin x = \left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 — \frac{1}{4}$$

Таким образом, мы получаем:

$$y = -\left( \left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 — \frac{1}{4} \right) + 1 = -\left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} + 1 = -\left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{4}$$

Шаг 3: Определяем диапазон значений функции

Теперь, когда функция приняла форму:

$$y = -\left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{4}$$

заметим, что выражение $\left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2$ всегда неотрицательно и принимает минимальное значение 0, когда $\sin x = -\frac{1}{2}$. Следовательно, максимальное значение $y$ достигается, когда $\left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 = 0$, то есть $y = \frac{5}{4}$.

Минимальное значение $y$ достигается, когда $\left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2$ максимально, а это максимальное значение равно $\left( 1 + \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$. В этом случае:

$$y_{\text{min}} = -\frac{9}{4} + \frac{5}{4} = -1$$

Таким образом, диапазон значений функции:

$$y \in \left[ -1, \frac{5}{4} \right]$$

Ответ:

$$-1 \leq y \leq \frac{5}{4}$$