ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 772 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения х, при которых функция у = tg 2х — 1 принимает отрицательные значения.

$$y = \operatorname{tg} 2x — 1;$$

Функция принимает отрицательные значения при:

$$\operatorname{tg} 2x — 1 < 0;$$ $$\operatorname{tg} 2x < 1;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x < \arctg 1 + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x < \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2}\mathrm{.}$$

Нам дана функция:

$$y = \operatorname{tg} 2x — 1.$$

Задача заключается в том, чтобы найти область, где эта функция принимает отрицательные значения. То есть, необходимо найти такие значения $x$, при которых $y < 0$.

Шаг 1: Установим неравенство для функции

Нам нужно найти, при каких значениях $x$ функция $y = \operatorname{tg} 2x — 1$ принимает отрицательные значения. Для этого рассмотрим неравенство:

$$\operatorname{tg} 2x — 1 < 0.$$

Переносим $1$ на правую сторону:

$$\operatorname{tg} 2x < 1.$$

Теперь наша задача — найти такие значения $x$, при которых $\operatorname{tg} 2x < 1$.

Шаг 2: Решим неравенство $\operatorname{tg} 2x < 1$

Тангенс функции $\operatorname{tg}$ имеет период $\pi$, поэтому его значения повторяются через $\pi$. Таким образом, для решения неравенства $\operatorname{tg} 2x < 1$, нужно понять, при каких значениях $x$ тангенс будет меньше 1.

Сначала решим уравнение:

$$\operatorname{tg} 2x = 1.$$

Тангенс равен единице при:

$$2x = \arctg(1) = \frac{\pi}{4}.$$

Таким образом, у нас есть уравнение $2x = \frac{\pi}{4}$. Это значит, что $x = \frac{\pi}{8}$.

Теперь учитываем периодичность тангенса, то есть его значения повторяются через $\pi$. Поскольку тангенс принимает значение 1 при $2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — целое число, у нас будет следующее выражение для $x$:

$$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}.$$

Шаг 3: Запишем промежуток, на котором $\operatorname{tg} 2x < 1$

Теперь необходимо определить, на каком промежутке $x$ значения $\operatorname{tg} 2x$ будут меньше 1. Поскольку $\operatorname{tg}$ монотонно возрастает на каждом интервале между точками, где тангенс равен $1$, мы можем заключить, что:

• $\operatorname{tg} 2x < 1$ на интервале между $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$ и $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

Это означает, что для каждого $n$ функция $\operatorname{tg} 2x — 1$ будет принимать отрицательные значения в интервале:

$$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}.$$

Шаг 4: Ответ

Таким образом, мы получаем, что функция $y = \operatorname{tg} 2x — 1$ принимает отрицательные значения на интервале:

$$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}.$$

где $n$ — целое число.

Итоговое решение

Ответ:

$$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}.$$

Объяснение шагов

1. Мы начали с того, что нашли неравенство для функции $\operatorname{tg} 2x — 1 < 0$, что привело нас к неравенству $\operatorname{tg} 2x < 1$.
2. Мы решили уравнение $\operatorname{tg} 2x = 1$, чтобы определить точки, в которых тангенс равен 1.
3. Учли периодичность тангенса и записали решение в виде интервала.
4. Наконец, мы определили, что функция принимает отрицательные значения в интервале, где тангенс меньше 1.