ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 770 Алимов — Подробные Ответы

Найти нули функции:

1. у = cos2 х — cos х;
2. у = cos х — cos 2х — sin 3х.

$y = \cos^2 x — \cos x$;

Нули функции:

$$\cos^2 x — \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot (\cos x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos x — 1 = 0;$$ $$\cos x = 1;$$ $$x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; \, 2\pi n$.

$y = \cos x — \cos 2x — \sin 3x$;

$$y = -2 \cdot \sin \frac{x — 2x}{2} \cdot \sin \frac{x + 2x}{2} — \sin 3x;$$ $$y = -2 \cdot \sin \left( -\frac{x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{3x}{2} \right) — \sin 3x;$$ $$y = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} — 2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2};$$ $$y = 2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \left( \sin \frac{x}{2} — \cos \frac{3x}{2} \right);$$ $$y = 2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \left( \sin \frac{x}{2} — \sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{3x}{2} \right) \right);$$ $$y = 2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \left( \sin \frac{x}{2} — \cos \frac{3x}{2} \right);$$ $$y = 4 \sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( -\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right);$$

Первое уравнение:

$$\sin \frac{3x}{2} = 0;$$ $$\frac{3x}{2} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{2\pi n}{3};$$

Второе уравнение:

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$x — \frac{\pi}{4} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Третье уравнение:

$$\cos \left( -\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = 2 \cdot \left( \frac{3\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{2\pi n}{3}; \, \frac{\pi}{4} + \pi n; \, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

1) Решить уравнение

$$y = \cos^2 x — \cos x = 0.$$

Шаг 1. Преобразование уравнения

Запишем уравнение в виде:

$$\cos^2 x — \cos x = 0.$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x \cdot (\cos x — 1) = 0.$$

Шаг 2. Решение по нулю произведения

Из свойства произведения:

$$A \cdot B = 0 \Rightarrow A = 0 \quad \text{или} \quad B = 0.$$

Значит, уравнение разбивается на два простых:

1. $\cos x = 0$,
2. $\cos x — 1 = 0$.

Шаг 3. Решение первого уравнения $\cos x = 0$

Косинус равен нулю в точках:

$$x = \arccos 0 + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = -\arccos 0 + 2\pi n,$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

Значение $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно,

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,$$

или

$$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n,$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

Но можно переписать обобщённо как:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Проверка: при $n=0$, $x=\frac{\pi}{2}$; при $n=1$, $x=\frac{3\pi}{2}$ — оба решения подходят.

Шаг 4. Решение второго уравнения $\cos x — 1 = 0$

Это простое уравнение:

$$\cos x = 1.$$

Косинус равен 1 в точках:

$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 5. Итоговое решение для первого уравнения

Объединяем решения:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad \text{и} \quad x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2) Решить уравнение

$$y = \cos x — \cos 2x — \sin 3x = 0.$$

Шаг 1. Преобразование уравнения

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos a — \cos b = -2 \sin \frac{a — b}{2} \cdot \sin \frac{a + b}{2}.$$

Подставим $a = x$, $b = 2x$:

$$\cos x — \cos 2x = -2 \sin \frac{x — 2x}{2} \cdot \sin \frac{x + 2x}{2} = -2 \sin \left(-\frac{x}{2}\right) \cdot \sin \frac{3x}{2}.$$

Таким образом,

$$y = -2 \sin \left(-\frac{x}{2}\right) \cdot \sin \frac{3x}{2} — \sin 3x.$$

Шаг 2. Упрощение с использованием чётности синуса

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta,$$

поэтому:

$$-2 \sin \left(-\frac{x}{2}\right) \cdot \sin \frac{3x}{2} = -2 \cdot (-\sin \frac{x}{2}) \cdot \sin \frac{3x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2}.$$

Теперь уравнение принимает вид:

$$y = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} — \sin 3x = 0.$$

Шаг 3. Используем формулу для синуса тройного угла

Формула:

$$\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x,$$

но использовать её здесь не обязательно.

Вместо этого раскроем $\sin 3x$ через произведение синусов и косинусов:

$$\sin 3x = 2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2}.$$

Шаг 4. Подстановка и группировка

Подставим:

$$y = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} — 2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2}.$$

Вынесем общий множитель $2 \sin \frac{3x}{2}$:

$$y = 2 \sin \frac{3x}{2} \left( \sin \frac{x}{2} — \cos \frac{3x}{2} \right) = 0.$$

Шаг 5. Решаем уравнение, приравнивая каждое слагаемое к нулю

Имеется произведение:

$$2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \left( \sin \frac{x}{2} — \cos \frac{3x}{2} \right) = 0.$$

Решения:

1. $\sin \frac{3x}{2} = 0$,
2. $\sin \frac{x}{2} — \cos \frac{3x}{2} = 0$.

Шаг 6. Решаем первое уравнение $\sin \frac{3x}{2} = 0$

Синус равен нулю в точках:

$$\frac{3x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Отсюда:

$$x = \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 7. Решаем второе уравнение

$$\sin \frac{x}{2} = \cos \frac{3x}{2}.$$

Используем формулу:

$$\cos \theta = \sin \left( \frac{\pi}{2} — \theta \right),$$

значит:

$$\sin \frac{x}{2} = \sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{3x}{2} \right).$$

Шаг 8. Решаем уравнение $\sin A = \sin B$

Общее решение:

$$A = B + 2\pi n, \quad \text{или} \quad A = \pi — B + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Подставим $A = \frac{x}{2}$, $B = \frac{\pi}{2} — \frac{3x}{2}$:

Вариант 1:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} — \frac{3x}{2} + 2\pi n,$$

приведём к общему виду:

$$\frac{x}{2} + \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Вариант 2:

$$\frac{x}{2} = \pi — \left( \frac{\pi}{2} — \frac{3x}{2} \right) + 2\pi n,$$ $$\frac{x}{2} = \pi — \frac{\pi}{2} + \frac{3x}{2} + 2\pi n,$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{3x}{2} + 2\pi n,$$

переносим $\frac{3x}{2}$ влево:

$$\frac{x}{2} — \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,$$ $$-\!x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,$$ $$x = -\frac{\pi}{2} — 2\pi n.$$

Шаг 9. Итог решения второго уравнения

Объединяем решения:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n,$$ $$x = -\frac{\pi}{2} — 2\pi n.$$

Шаг 10. Дополнительное разложение и третье уравнение

В исходном решении был ещё третий множитель, который можно получить через дополнительное преобразование:

$$y = 4 \sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( -\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Отсюда дополнительное уравнение:

$$\cos \left( -\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Шаг 11. Решаем уравнение $\cos \theta = 0$

$$\cos \left( -\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Так как косинус — чётная функция,

$$\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Косинус равен нулю при:

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Решаем для $x$:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n,$$ $$x = 2 \left( \frac{3\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 12. Итоговое решение второго уравнения

Объединяем все три набора решений:

$$x = \frac{2\pi n}{3},$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n,$$ $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$\boxed{ \begin{cases} 1) & x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = 2\pi n, \\ 2) & x = \frac{2\pi n}{3}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n. \end{cases} }$$