ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 769 Алимов — Подробные Ответы

Решить графически уравнение:

1. cosx = |x|;
2. sinx = -|x +1|.

$\cos x = |x|$;

$y = |x|$ — график модуля:

$x_0 = 0$ и $y_0 = 0$;

Графики функций:

Ответ: 2 решения.

$\sin x = -|x + 1|$;

$y = -|x + 1|$ — график модуля:

$x_0 = -1$ и $y_0 = 0$;

Графики функций:

Ответ: 2 решения.

Часть 1) Решить уравнение $\cos x = |x|$

Шаг 1. Понимание задачи

Нужно найти все значения $x$, при которых значение косинуса равно абсолютному значению $x$, то есть:

$$\cos x = |x|$$

Шаг 2. Область определения и свойства функций

• Функция $\cos x$ — периодическая, принимает значения от $-1$ до $1$.
• Функция $y = |x|$ — модуль числа $x$, принимает только неотрицательные значения и монотонно возрастает по модулю $x$ от нуля.
• Значит, правая часть $|x| \geq 0$, а левая часть $\cos x$ ограничена между $-1$ и $1$.

Шаг 3. Анализ уравнения $\cos x = |x|$

• Так как $\cos x \leq 1$, а $|x| \geq 0$, возможные решения могут быть только там, где $|x| \leq 1$, иначе правая часть будет больше, чем максимум левой.
• Следовательно, $x \in [-1, 1]$.

Шаг 4. Построение графиков функций

• График $y = \cos x$ — волнообразная кривая, максимум 1 в точке $x = 0$.
• График $y = |x|$ — «V»-образная линия, проходящая через начало координат (0,0).

Шаг 5. Точки пересечения графиков

• При $x = 0$, $\cos 0 = 1$, $|0| = 0$ — не совпадает, значит не решение.
• При $x = \pm \frac{3\pi}{4} \approx \pm 2.356$, $|x| = 2.356$, что больше 1, а $\cos(\pm 2.356) = -0.707$ — не равны.
• Однако, из таблицы и графика видно, что точки пересечения находятся примерно в точках, где $\cos x = |x| \approx 0.7$.
• Визуально и численно из графика видно 2 решения в области около $\pm 0.7$.

Шаг 6. Табличные значения

Эти точки — контрольные, показывают значения функции модуля. Решения лежат между $x = 0$ и этими значениями.

Шаг 7. Вывод по первой части

• Функции пересекаются в двух точках.
• Ответ: 2 решения.

Часть 2) Решить уравнение $\sin x = -|x + 1|$

Шаг 1. Понимание задачи

Нужно найти все значения $x$, при которых:

$$\sin x = -|x + 1|$$

Шаг 2. Анализ функций

• Левая часть — синус, $\sin x \in [-1,1]$, периодическая функция.
• Правая часть — отрицательное модульное выражение, всегда $\leq 0$, и равно 0 только при $x = -1$.
• Значит решения возможны только там, где $\sin x \leq 0$, то есть синус отрицателен или равен нулю.
• Правая часть убывает при удалении от точки $x = -1$.

Шаг 3. Построение графиков

• График $\sin x$ — волнообразный, проходит через (0,0).
• График $y = -|x + 1|$ — перевернутая «V»-образная линия с вершиной в точке $(-1, 0)$.

Шаг 4. Табличные значения

Шаг 5. Точки пересечения

• Вершина модуля в точке $-1, 0$ совпадает с $\sin(-1) \approx -0.84 \neq 0$.
• Решения находятся в двух точках, где графики пересекаются (примерно около $x = -1.5$ и $x = 0$).
• Из графика видно, что таких точек две.

Шаг 6. Вывод по второй части

• Количество решений: 2.

Итог:

• В обоих уравнениях по 2 решения.
• Ответы совпадают с графическим анализом.