ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 766 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1. у = cos4 х — sin4 х;
2. у = sin (x+пи/4)sin(x-пи/4);
3. y = 1-2 | sin 3х|;
4. у = sin2x — 2 cos2 х.

1.

$$y = \cos^4 x — \sin^4 x;$$ $$y = (\cos^2 x — \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos 2x;$$

Область значений функции:

$$-1 \leq \cos 2x \leq 1;$$

Ответ:

$$y_{\min} = -1; \quad y_{\max} = 1.$$

2.

$$y = \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right);$$ $$y = \left( \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x \right) \left( \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x \right);$$ $$y = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right);$$ $$y = \frac{2}{4} (\sin x + \cos x)(\sin x — \cos x) = \frac{1}{2} (\sin^2 x — \cos^2 x) = -\frac{1}{2} \cos 2x;$$

Область значений функции:

$$-1 \leq \cos 2x \leq 1;$$ $$-\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{2} \cos 2x \leq \frac{1}{2};$$

Ответ:

$$y_{\min} = -\frac{1}{2}; \quad y_{\max} = \frac{1}{2}.$$

3.

$$y = 1 — 2|\sin 3x|;$$

Область значений функции:

$$-1 \leq \sin 3x \leq 1;$$ $$0 \leq |\sin 3x| \leq 1;$$ $$-2 \leq -2|\sin 3x| \leq 0;$$ $$-1 \leq 1 — 2|\sin 3x| \leq 1;$$

Ответ:

$$y_{\min} = -1; \quad y_{\max} = 1.$$

4.

$$y = \sin^2 x — 2 \cos^2 x;$$ $$y = (1 — \cos^2 x) — 2 \cos^2 x = 1 — 3 \cos^2 x;$$

Область значений функции:

$$-1 \leq \cos x \leq 1;$$ $$0 \leq \cos^2 x \leq 1;$$ $$-3 \leq -3 \cos^2 x \leq 0;$$ $$-2 \leq 1 — 3 \cos^2 x \leq 1;$$

Ответ:

$$y_{\min }=-2;y_{\max }=1.$$

1)

$$y = \cos^4 x — \sin^4 x$$

Шаг 1. Преобразование выражения

Заметим, что $a^4 — b^4 = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2)$.

Применим это к $y$:

$$y = (\cos^2 x — \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)$$

Шаг 2. Использование основного тригонометрического тождества

Известно, что:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$

Тогда:

$$y = (\cos^2 x — \sin^2 x) \cdot 1 = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Шаг 3. Выражение через двойной угол

Формула для косинуса двойного угла:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Следовательно:

$$y = \cos 2x$$

Шаг 4. Область значений

Поскольку $y = \cos 2x$, и $\cos$ — функция, принимающая значения от $-1$ до $1$, то:

$$-1 \leq y \leq 1$$

Итог:

$$\boxed{ y_{\min} = -1, \quad y_{\max} = 1 }$$

2)

$$y = \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 1. Раскрываем произведение синусов через сумму и разность

Используем формулу для суммы углов:

$$\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$$

Пусть:

$$A = x + \frac{\pi}{4}, \quad B = x — \frac{\pi}{4}$$

Тогда:

$$y = \sin A \cdot \sin B = \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} — \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 2. Подставляем значения $\cos \frac{\pi}{4}$ и $\sin \frac{\pi}{4}$

$$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно:

$$y = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right)$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель $\frac{\sqrt{2}}{2}$ из обеих скобок:

$$y = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 (\sin x + \cos x)(\sin x — \cos x)$$ $$y = \frac{2}{4} (\sin x + \cos x)(\sin x — \cos x) = \frac{1}{2} (\sin x + \cos x)(\sin x — \cos x)$$

Шаг 4. Используем разность квадратов:

$$(a+b)(a-b) = a^2 — b^2$$

Здесь:

$$(\sin x + \cos x)(\sin x — \cos x) = \sin^2 x — \cos^2 x$$

Шаг 5. Запишем $y$ в упрощенном виде:

$$y = \frac{1}{2} (\sin^2 x — \cos^2 x)$$

Шаг 6. Перепишем через косинус двойного угла

Используем формулу:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Отсюда:

$$\sin^2 x — \cos^2 x = -\cos 2x$$

Тогда:

$$y = \frac{1}{2} \cdot (-\cos 2x) = -\frac{1}{2} \cos 2x$$

Шаг 7. Область значений

Известно, что

$$-1 \leq \cos 2x \leq 1$$

Умножим неравенство на $-\frac{1}{2}$ (меняя знаки):

$$-\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{2} \cos 2x \leq \frac{1}{2}$$

Итог:

$$\boxed{ y_{\min} = -\frac{1}{2}, \quad y_{\max} = \frac{1}{2} }$$

3)

$$y = 1 — 2 |\sin 3x|$$

Шаг 1. Анализ знака $|\sin 3x|$

Функция $\sin 3x$ принимает значения:

$$-1 \leq \sin 3x \leq 1$$

Тогда:

$$|\sin 3x| \geq 0$$

и

$$0 \leq |\sin 3x| \leq 1$$

Шаг 2. Умножаем на $-2$

$$-2 \leq -2|\sin 3x| \leq 0$$

Шаг 3. Добавляем 1 к неравенству

$$1 — 2 \leq 1 — 2|\sin 3x| \leq 1 + 0$$

То есть:

$$-1 \leq y \leq 1$$

Итог:

$$\boxed{ y_{\min} = -1, \quad y_{\max} = 1 }$$

4)

$$y = \sin^2 x — 2 \cos^2 x$$

Шаг 1. Используем основное тригонометрическое тождество

$$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$$

Тогда:

$$y = (1 — \cos^2 x) — 2 \cos^2 x = 1 — 3 \cos^2 x$$

Шаг 2. Область значений $\cos x$

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

Тогда:

$$0 \leq \cos^2 x \leq 1$$

Шаг 3. Умножаем на $-3$

$$-3 \leq -3 \cos^2 x \leq 0$$

Шаг 4. Прибавляем 1

$$-2 \leq 1 — 3 \cos^2 x \leq 1$$

Итог:

$$\boxed{ y_{\min} = -2, \quad y_{\max} = 1 }$$