ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 765 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

1. y=tg(2x+пи/6);
2. y= корень tgx.

1.

$$y = \operatorname{tg} \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right);$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x + \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$2x \neq \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{3\pi — \pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x \neq \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}.$$

2.

$$y = \sqrt{\operatorname{tg} x};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\operatorname{tg} x \geqslant 0,$$ $$\operatorname{arctg} 0 + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$\pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Часть 1:

$$y = \operatorname{tg} \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right)$$

Цель:

Найти область определения функции, то есть все $x$, при которых выражение имеет смысл.

Шаг 1. Когда тангенс не определён?

Функция $\operatorname{tg} t$ не определена в точках, где

$$t = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

(здесь $t$ — аргумент тангенса).

Шаг 2. Запишем условие непринадлежности аргумента к точкам разрыва:

$$2x + \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 3. Решим неравенство для $x$:

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из обеих частей:

$$2x \neq \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Вычислим разность:

$$\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$

Таким образом,

$$2x \neq \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 4. Выразим $x$:

$$x \neq \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$$

Итог:

$$\boxed{ x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} }$$

Это и есть область определения функции $y = \operatorname{tg} \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right)$.

Часть 2:

$$y = \sqrt{\operatorname{tg} x}$$

Цель:

Найти область определения функции $y$.

Шаг 1. Ограничения подкоренного выражения

Подкоренное выражение $\operatorname{tg} x$ должно быть больше или равно нулю, иначе корень не будет иметь смысл в области действительных чисел.

$$\operatorname{tg} x \geq 0$$

Шаг 2. Анализ знака функции $\operatorname{tg} x$

Функция $\operatorname{tg} x$ — периодическая с периодом $\pi$ и имеет разрывы в точках

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Знак тангенса в промежутках между точками разрыва меняется по следующему правилу:

• На интервале $\left(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$, где $n \in \mathbb{Z}$, $\operatorname{tg} x$ положителен.
• На интервале $\left(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1) \right)$ — отрицателен.

Шаг 3. Формулировка области, где $\operatorname{tg} x \geq 0$

Учитывая периодичность и знаки:

$$\operatorname{tg} x \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \in \left[ \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4. Почему границы такие?

• В точке $x = \pi n$, $\operatorname{tg} x = 0$, что входит в область определения (корень из нуля равен нулю).
• Правая граница $\frac{\pi}{2} + \pi n$ — точка разрыва, не включается в область определения.

Итог:

$$\boxed{ \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} }$$

Это — область определения функции $y = \sqrt{\operatorname{tg} x}$.

Общий вывод:

$$\begin{cases} \text{Для } y = \operatorname{tg}\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right): & x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \\ \\ \text{Для } y = \sqrt{\operatorname{tg} x}: & \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{cases}$$