ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 758 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

1. у = sin х + cos х;
2. у = sin х + tgx;
3. y= корень sinx;
4. y= корень cosx;
5. y=2x/(2sinx -1);
6. y=cosx/(2sin2x- sinx).

1. $y = \sin x + \cos x$;
   Ответ: $x \in \mathbb{R}$.
2. $y = \sin x + \operatorname{tg} x$;
   Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.
3. $y = \sqrt{\sin x}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $\sin x \geq 0$;
   $\arcsin 0 + 2\pi n \leq x \leq \pi — \arcsin 0 + 2\pi n$;
   Ответ: $2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n$.
4. $y = \sqrt{\cos x}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $\cos x \geq 0$;
   $-\arccos 0 + 2\pi n \leq x \leq \arccos 0 + 2\pi n$;
   Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
5. $y = \frac{2x}{2\sin x — 1}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $2\sin x — 1 \neq 0$;
   $2\sin x \neq 1$;
   $\sin x \neq \frac{1}{2}$;
   $x \neq (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;
   Ответ: $x \neq (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.
6. $y = \frac{\cos x}{2\sin^2 x — \sin x}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $2\sin^2 x — \sin x \neq 0$;
   $\sin x \cdot (2\sin x — 1) \neq 0$;
   Первое уравнение:
   $\sin x \neq 0$;
   $x \neq \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
   Второе уравнение:
   $2\sin x — 1 \neq 0$;
   $2\sin x \neq 1$;
   $\sin x \neq \frac{1}{2}$;
   $x \neq (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;
   Ответ: $x \neq \pi n$; $x \neq (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

1) $y = \sin x + \cos x$

Шаг: Функции $\sin x$ и $\cos x$ определены на всей числовой прямой. Сумма двух определённых функций также определена на всей прямой.

Ответ:

$$x \in \mathbb{R}.$$

2) $y = \sin x + \operatorname{tg} x$

Шаг 1: $\sin x$ определена на $\mathbb{R}$.

Шаг 2: Функция $\operatorname{tg} x = \tan x$ не определена в точках, где $\cos x = 0$, то есть

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 3: Следовательно, выражение $\sin x + \operatorname{tg} x$ определено на всей числовой прямой за исключением точек $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Ответ:

$$x\mathrm{\ne }\frac{\pi }{2}+\pi n\mathrm{.}$$

3) $y = \sqrt{\sin x}$

Шаг 1: Корень квадратный определён только для неотрицательных чисел. Значит, подкоренное выражение должно быть неотрицательно:

$$\sin x \geq 0.$$

Шаг 2: Рассмотрим периодичность функции $\sin x$ с периодом $2\pi$.

Функция $\sin x \geq 0$ на промежутках:

$$[0 + 2\pi n, \pi + 2\pi n], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 3: Точки $0 + 2\pi n$ и $\pi + 2\pi n$ — это точки, где $\sin x = 0$, то есть границы промежутков, где $\sin x \geq 0$.

Ответ:

$$x \in [2\pi n; \pi + 2\pi n], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

4) $y = \sqrt{\cos x}$

Шаг 1: Аналогично предыдущему случаю, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\cos x \geq 0.$$

Шаг 2: Функция $\cos x \geq 0$ на промежутках:

$$[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 3: Здесь $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, поэтому запись

$$-\arccos 0 + 2\pi n \leq x \leq \arccos 0 + 2\pi n$$

равносильна

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$x \in \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

5) $y = \frac{2x}{2\sin x — 1}$

Шаг 1: Делитель не может быть равен нулю:

$$2\sin x — 1 \neq 0.$$

Шаг 2: Решим уравнение для исключённых значений:

$$2\sin x = 1,$$ $$\sin x = \frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Значения $x$, при которых $\sin x = \frac{1}{2}$, имеют вид

$$x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 4: Известно, что

$$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Ответ:

$$x \neq (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

6) $y = \frac{\cos x}{2\sin^2 x — \sin x}$

Шаг 1: Знаменатель не должен равняться нулю:

$$2\sin^2 x — \sin x \neq 0.$$

Шаг 2: Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x (2\sin x — 1) \neq 0.$$

Шаг 3: Значит, необходимо одновременно:

$$\sin x \neq 0,$$ $$2\sin x — 1 \neq 0.$$

Шаг 4: Первое уравнение:

$$\sin x \neq 0,$$ $$x\mathrm{\ne }\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Второе уравнение:

$$2\sin x \neq 1,$$ $$\sin x \neq \frac{1}{2}.$$

Шаг 6: Значения $x$, при которых $\sin x = \frac{1}{2}$, как и в предыдущем пункте:

$$x \neq (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$x \neq \pi n, \quad x \neq (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$