ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 756 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

1. y=arcsin(x-3)/2;
2. y= arccos(2-3x);
3. y=arccos(2 корень x;
4. y=arcsin(2x-5)/3.

$y = \arcsin \frac{x-3}{2}$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq \frac{x-3}{2} \leq 1;$$ $$-2 \leq x-3 \leq 2;$$ $$1 \leq x \leq 5;$$

Ответ: $x \in [1; 5]$.

$y = \arccos (2 — 3x)$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq 2 — 3x \leq 1;$$ $$-3 \leq -3x \leq -1;$$ $$\frac{1}{3} \leq x \leq 1;$$

Ответ: $x \in \left[ \frac{1}{3}; 1 \right]$.

$y = \arccos (2\sqrt{x} — 3)$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq 2\sqrt{x} — 3 \leq 1;$$ $$2 \leq 2\sqrt{x} \leq 4;$$ $$1 \leq \sqrt{x} \leq 2;$$ $$1 \leq x \leq 4;$$

Ответ: $x \in [1; 4]$.

$y = \arcsin \left( \frac{2x^2 — 5}{3} \right)$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq \frac{2x^2 — 5}{3} \leq 1;$$ $$-3 \leq 2x^2 — 5 \leq 3;$$ $$2 \leq 2x^2 \leq 8;$$ $$1 \leq x^2 \leq 4, \text{ откуда } \{ -2 \leq x \leq -1 \text{ или } 1 \leq x \leq 2 \};$$

Ответ: $x \in [-2; -1] \cup [1; 2]$.

1) $y = \arcsin \frac{x-3}{2}$

Шаг 1: Функция $y = \arcsin t$ определена при условии, что аргумент $t$ лежит в промежутке $[-1; 1]$.

Поэтому для выражения

$$\frac{x-3}{2}$$

область определения задаётся неравенством

$$-1 \leq \frac{x-3}{2} \leq 1.$$

Шаг 2: Умножаем все части неравенства на 2 (так как 2 > 0, знак неравенства сохраняется):

$$-2 \leq x — 3 \leq 2.$$

Шаг 3: Прибавляем 3 ко всем частям неравенства, чтобы выразить $x$:

$$-2 + 3 \leq x \leq 2 + 3,$$

то есть

$$1 \leq x \leq 5.$$

Ответ:

$$x \in [1; 5].$$

2) $y = \arccos (2 — 3x)$

Шаг 1: Функция $y = \arccos t$ определена при условии, что аргумент $t$ лежит в промежутке $[-1; 1]$.

Значит

$$-1 \leq 2 — 3x \leq 1.$$

Шаг 2: Рассмотрим неравенство по частям.

Сначала

$$-1 \leq 2 — 3x,$$

переносим 2 в правую часть:

$$-1 — 2 \leq -3x,$$ $$-3 \leq -3x.$$

Шаг 3: Аналогично, вторая часть неравенства:

$$2 — 3x \leq 1,$$

переносим 2 в правую часть:

$$-3x \leq 1 — 2,$$ $$-3x \leq -1.$$

Шаг 4: Теперь у нас система

$$-3 \leq -3x \leq -1.$$

Шаг 5: Делим все части на $-3$. Поскольку делим на отрицательное число, знаки неравенств меняются на противоположные:

$$\frac{-3}{-3} \geq x \geq \frac{-1}{-3},$$ $$1 \geq x \geq \frac{1}{3}.$$

Шаг 6: Запишем решение в правильном порядке:

$$\frac{1}{3} \leq x \leq 1.$$

Ответ:

$$x \in \left[ \frac{1}{3}; 1 \right].$$

3) $y = \arccos (2\sqrt{x} — 3)$

Шаг 1: Как и раньше, аргумент функции должен удовлетворять

$$-1 \leq 2\sqrt{x} — 3 \leq 1.$$

Шаг 2: Рассмотрим неравенство по частям.

Сначала

$$-1 \leq 2\sqrt{x} — 3,$$

переносим $-3$ в правую часть:

$$-1 + 3 \leq 2\sqrt{x},$$ $$2 \leq 2\sqrt{x}.$$

Шаг 3: Вторая часть:

$$2\sqrt{x} — 3 \leq 1,$$

переносим $-3$ в правую часть:

$$2\sqrt{x} \leq 1 + 3,$$ $$2\sqrt{x} \leq 4.$$

Шаг 4: Теперь получаем систему:

$$2 \leq 2\sqrt{x} \leq 4.$$

Шаг 5: Делим все части на 2 (положительное число, знак не меняется):

$$1 \leq \sqrt{x} \leq 2.$$

Шаг 6: Теперь, поскольку $\sqrt{x} \geq 0$, возводим неравенства в квадрат:

$$1^2 \leq (\sqrt{x})^2 \leq 2^2,$$ $$1 \leq x \leq 4.$$

Шаг 7: Кроме того, поскольку $\sqrt{x}$ определён, $x \geq 0$. Это условие уже выполнено в полученном промежутке.

Ответ:

$$x \in [1; 4].$$

4) $y = \arcsin \left( \frac{2x^2 — 5}{3} \right)$

Шаг 1: Условие области определения:

$$-1 \leq \frac{2x^2 — 5}{3} \leq 1.$$

Шаг 2: Умножаем все части неравенства на 3 (число положительное, знак не меняется):

$$-3 \leq 2x^2 — 5 \leq 3.$$

Шаг 3: Рассмотрим обе части по отдельности.

Сначала:

$$-3 \leq 2x^2 — 5,$$

переносим $-5$ вправо:

$$-3 + 5 \leq 2x^2,$$ $$2\le 2x^2\mathrm{.}$$

Шаг 4: Вторая часть:

$$2x^2 — 5 \leq 3,$$

переносим $-5$ вправо:

$$2x^2 \leq 3 + 5,$$ $$2x^2 \leq 8.$$

Шаг 5: Теперь имеем систему:

$$2 \leq 2x^2 \leq 8.$$

Шаг 6: Делим все части на 2:

$$1 \leq x^2 \leq 4.$$

Шаг 7: Распишем неравенства для $x$:

$$x^2 \geq 1 \implies x \leq -1 \text{ или } x \geq 1,$$ $$x^2 \leq 4 \implies -2 \leq x \leq 2.$$

Шаг 8: Пересечение этих условий даёт

$$-2 \leq x \leq -1 \quad \text{или} \quad 1 \leq x \leq 2.$$

Ответ:

$$x \in [-2; -1] \cup [1; 2].$$