ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 755 Алимов — Подробные Ответы

1. arctg (1-x)/4 = пи/3;
2. arctg (2x+1) = -пи/3;
3. arctg (1+2x)/3 = пи/4;
4. arctg (2-3x) = -пи/4.

Задача 1:

$\text{1) } \operatorname{arctg} \frac{1-x}{4} = \frac{\pi}{3};$
$\operatorname{arctg} \frac{1-x}{4} = \operatorname{arctg} \sqrt{3};$
$\frac{1-x}{4} = \sqrt{3};$
$1 — x = 4\sqrt{3}, \text{ отсюда } x = 1 — 4\sqrt{3};$
Ответ: $x = 1 — 4\sqrt{3}$.

Задача 2:

$\text{2) } \operatorname{arctg} \frac{1+2x}{3} = \frac{\pi}{4};$
$\operatorname{arctg} \frac{1+2x}{3} = \operatorname{arctg} 1;$
$\frac{1+2x}{3} = 1;$
$1 + 2x = 3;$
$2x = 2, \text{ отсюда } x = 1;$
Ответ: $x = 1$.

Задача 3:

$\text{3) } \operatorname{arctg}(2x+1) = -\frac{\pi}{3};$
$\operatorname{arctg}(2x+1) = -\operatorname{arctg} \sqrt{3};$
$\operatorname{arctg}(2x+1) = \operatorname{arctg}(-\sqrt{3});$
$2x + 1 = -\sqrt{3};$
$2x = -1 — \sqrt{3}, \text{ отсюда } x = -\frac{1+\sqrt{3}}{2};$
Ответ: $x = -\frac{1+\sqrt{3}}{2}$.

Задача 4:

$\text{4) } \operatorname{arctg}(2-3x) = -\frac{\pi}{4};$
$\operatorname{arctg}(2-3x) = -\operatorname{arctg} \frac{\pi}{4};$
$\operatorname{arctg}(2-3x) = \operatorname{arctg}(-1);$
$2 — 3x = -1;$
$3x = 2 + 1;$
$3x = 3, \text{ отсюда } x = 1;$
Ответ: $x = 1$.

Задача 1:

$$\operatorname{arctg} \frac{1-x}{4} = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 1: Известно, что

$$\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Поэтому уравнение можно переписать как

$$\operatorname{arctg} \frac{1-x}{4} = \operatorname{arctg} \sqrt{3}.$$

Шаг 2: Так как функция $\operatorname{arctg} t$ является монотонно возрастающей на всей числовой прямой, то равенство арктангенсов означает равенство аргументов:

$$\frac{1-x}{4} = \sqrt{3}.$$

Шаг 3: Решаем уравнение для $x$:

Умножаем обе части на 4:

$$1 — x = 4\sqrt{3}.$$

Шаг 4: Переносим $x$ в одну сторону, а свободный член — в другую:

$$-x = 4\sqrt{3} — 1,$$

откуда

$$x = 1 — 4\sqrt{3}.$$

Ответ:

$$x = 1 — 4\sqrt{3}.$$

Задача 2:

$$\operatorname{arctg} \frac{1+2x}{3} = \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 1: Известно, что

$$\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}.$$

Значит

$$\operatorname{arctg} \frac{1+2x}{3} = \operatorname{arctg} 1.$$

Шаг 2: Равенство арктангенсов значит равенство аргументов:

$$\frac{1+2x}{3} = 1.$$

Шаг 3: Умножаем обе части на 3:

$$1 + 2x = 3.$$

Шаг 4: Переносим 1 вправо:

$$2x = 3 — 1 = 2.$$

Шаг 5: Делим обе части на 2:

$$x = 1.$$

Ответ:

$$x = 1.$$

Задача 3:

$$\operatorname{arctg}(2x+1) = -\frac{\pi}{3}.$$

Шаг 1: Известно, что

$$\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \implies -\frac{\pi}{3} = -\operatorname{arctg} \sqrt{3}.$$

Шаг 2: Так как $\operatorname{arctg}$ — нечётная функция, то

$$-\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \operatorname{arctg} (-\sqrt{3}).$$

Шаг 3: Значит уравнение переписывается как

$$\operatorname{arctg}(2x+1) = \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}).$$

Шаг 4: Равенство арктангенсов даёт

$$2x + 1 = -\sqrt{3}.$$

Шаг 5: Решаем уравнение:

$$2x = -\sqrt{3} — 1,$$ $$x = \frac{-\sqrt{3} — 1}{2} = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2}.$$

Ответ:

$$x = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2}.$$

Задача 4:

$$\operatorname{arctg}(2 — 3x) = -\frac{\pi}{4}.$$

Шаг 1: Известно, что

$$\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4} \implies -\frac{\pi}{4} = -\operatorname{arctg} 1.$$

Шаг 2: Так как $\operatorname{arctg}$ нечётная функция, то

$$-\operatorname{arctg} 1 = \operatorname{arctg}(-1).$$

Шаг 3: Значит уравнение эквивалентно

$$\operatorname{arctg}(2 — 3x) = \operatorname{arctg}(-1).$$

Шаг 4: Равенство арктангенсов даёт

$$2 — 3x = -1.$$

Шаг 5: Переносим свободные члены:

$$-3x = -1 — 2 = -3,$$ $$3x = 3.$$

Шаг 6: Делим обе части на 3:

$$x = 1.$$

Ответ:

$$x = 1.$$