ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 754 Алимов — Подробные Ответы

1. arccos(2x+3) = пи/3;
2. arccos(3x+1) = пи/2;
3. arccos(x+1)/3 = 2пи/3;
4. arccos(2x-1)/3 = пи.

1.

$$\text{arccos}(2x + 3) = \frac{\pi}{3};$$ $$\text{arccos}(2x + 3) = \text{arccos} \frac{1}{2};$$ $$2x + 3 = \frac{1}{2};$$ $$4x + 6 = 1;$$ $$4x = -5, \text{отсюда } x = -\frac{5}{4};$$ $$\text{Ответ: } x = -\frac{5}{4}.$$

2.

$$\text{arccos}(3x + 1) = \frac{\pi}{2};$$ $$\text{arccos}(3x + 1) = \text{arccos} 0;$$ $$3x + 1 = 0;$$ $$3x = -1, \text{отсюда } x = -\frac{1}{3};$$ $$\text{Ответ: } x = -\frac{1}{3}.$$

3.

$$\text{arccos} \frac{x + 1}{3} = \frac{2\pi}{3};$$ $$\text{arccos} \frac{x + 1}{3} = \pi — \frac{\pi}{3};$$ $$\text{arccos} \frac{x + 1}{3} = \text{arccos} \left(-\frac{1}{2}\right);$$ $$\frac{x + 1}{3} = -\frac{1}{2};$$ $$2(x + 1) = -3;$$ $$2x + 2 = -3;$$ $$2x = -5, \text{отсюда } x = -\frac{5}{2};$$ $$\text{Ответ: } x = -\frac{5}{2}.$$

4.

$$\text{arccos} \frac{2x — 1}{3} = \pi;$$ $$\text{arccos} \frac{2x — 1}{3} = \text{arccos}(-1);$$ $$\frac{2x — 1}{3} = -1;$$ $$2x — 1 = -3;$$ $$2x = -2, \text{отсюда } x = -1;$$ $$\text{Ответ: } x = -1.$$

1)

$$\arccos(2x + 3) = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 1: Найдём значение, которому равен $\arccos \frac{\pi}{3}$.

Из таблицы значений арккосинуса известно, что:

$$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

Таким образом,

$$\arccos(2x + 3) = \arccos \frac{1}{2}.$$

Шаг 2: Поскольку функция $\arccos$ на своём основном промежутке $[0, \pi]$ является убывающей и обратной функции $\cos$, то при равенстве арккосинусов равны аргументы:

$$2x + 3 = \frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Решаем уравнение для $x$.

Перенесём свободные члены и умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$2x + 3 = \frac{1}{2} \implies 4x + 6 = 1,$$

где обе части умножены на 2.

Шаг 4: Переносим свободный член в правую часть:

$$4x = 1 — 6,$$ $$4x = -5.$$

Шаг 5: Делим обе части на 4:

$$x = -\frac{5}{4}.$$

Шаг 6: Проверяем область определения функции $\arccos$:

Аргумент $2x + 3$ должен принадлежать интервалу $[-1, 1]$:

$$-1 \leq 2x + 3 \leq 1.$$

Проверим для $x = -\frac{5}{4}$:

$$2 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) + 3 = -\frac{10}{4} + 3 = -2.5 + 3 = 0.5,$$

что лежит в интервале $[-1,1]$.

Ответ:

$$x = -\frac{5}{4}.$$

2)

$$\arccos(3x + 1) = \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 1: Известно, что

$$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}.$$

Поэтому

$$\arccos(3x + 1) = \arccos 0.$$

Шаг 2: При равенстве арккосинусов равны аргументы:

$$3x + 1 = 0.$$

Шаг 3: Решаем уравнение:

$$3x = -1,$$ $$x = -\frac{1}{3}.$$

Шаг 4: Проверяем область определения:

$$3x + 1 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = -1 + 1 = 0,$$

что принадлежит интервалу $[-1,1]$.

Ответ:

$$x = -\frac{1}{3}.$$

3)

$$\arccos \frac{x + 1}{3} = \frac{2\pi}{3}.$$

Шаг 1: Представим $\frac{2\pi}{3}$ через $\pi$ и $\frac{\pi}{3}$:

$$\frac{2\pi}{3} = \pi — \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 2: Используем формулу косинуса для разности углов:

$$\arccos \alpha = \pi — \arccos (-\alpha),$$

а также знаем, что

$$\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}.$$

Значит

$$\arccos \frac{x + 1}{3} = \arccos \left(-\frac{1}{2}\right).$$

Шаг 3: При равенстве арккосинусов равны аргументы:

$$\frac{x + 1}{3} = -\frac{1}{2}.$$

Шаг 4: Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2):

$$2(x + 1) = -3.$$

Шаг 5: Раскроем скобки:

$$2x + 2 = -3.$$

Шаг 6: Перенесём свободный член вправо:

$$2x = -3 — 2 = -5.$$

Шаг 7: Делим на 2:

$$x = -\frac{5}{2}.$$

Шаг 8: Проверяем область определения:

$$\frac{x + 1}{3} = \frac{-\frac{5}{2} + 1}{3} = \frac{-\frac{5}{2} + \frac{2}{2}}{3} = \frac{-\frac{3}{2}}{3} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{2},$$

что лежит в $[-1,1]$.

Ответ:

$$x = -\frac{5}{2}.$$

4)

$$\arccos \frac{2x — 1}{3} = \pi.$$

Шаг 1: Известно, что

$$\arccos(-1) = \pi.$$

Поэтому

$$\arccos \frac{2x — 1}{3} = \arccos (-1).$$

Шаг 2: При равенстве арккосинусов равны аргументы:

$$\frac{2x — 1}{3} = -1.$$

Шаг 3: Умножаем обе части на 3:

$$2x — 1 = -3.$$

Шаг 4: Переносим свободный член вправо:

$$2x = -3 + 1 = -2.$$

Шаг 5: Делим на 2:

$$x = -1.$$

Шаг 6: Проверяем область определения:

$$\frac{2x — 1}{3} = \frac{2 \cdot (-1) — 1}{3} = \frac{-2 — 1}{3} = \frac{-3}{3} = -1,$$

что лежит в $[-1,1]$.

Ответ:

$$x = -1.$$