ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 752 Алимов — Подробные Ответы

1. arctg 2 корень 3 и arctg 3 корень 2;
2. arctg 2 (-1/корень 2) и arctg (-1/корень 5).

Функция $y = \arctan x$:

Возрастает на всей числовой прямой;

1. $\arctg 2\sqrt{3} < \arctg 3\sqrt{2}$;
   $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$;
   $4 \cdot 3 < 9 \cdot 2$;
   $12 < 18$;
2. $\arctg \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < \arctg \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$;
   $-\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$;
   $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$;
   $\sqrt{2} < \sqrt{5}$;
   $2 < 5$

Функция $y = \arctan x$:

Свойство: Функция $\arctan x$ возрастает на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.
Это значит, что если $x_1 < x_2$, то

$$\arctan x_1 < \arctan x_2.$$

Задача 1

Доказать, что

$$\arctg 2\sqrt{3} < \arctg 3\sqrt{2}.$$

Шаг 1: Используем свойство возрастания функции $\arctan x$.

Поскольку функция возрастает, достаточно показать, что

$$2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}.$$

Шаг 2: Сравним выражения $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$.

Для удобства возведём обе части неравенства в квадрат, так как оба числа положительны, порядок не изменится:

$$(2\sqrt{3})^2 < (3\sqrt{2})^2.$$

Шаг 3: Вычислим квадраты:

$$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12,$$ $$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18.$$

Шаг 4: Сравниваем результаты:

$$12 < 18,$$

что верно.

Шаг 5: Следовательно,

$$2\sqrt{3} < 3\sqrt{2} \implies \arctg 2\sqrt{3} < \arctg 3\sqrt{2}.$$

Задача 2

Доказать, что

$$\arctg \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < \arctg \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).$$

Шаг 1: Используем свойство возрастания функции $\arctan x$.

Если

$$-\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}},$$

то

$$\arctg \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < \arctg \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).$$

Шаг 2: Проверим неравенство между аргументами:

$$-\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Шаг 3: Чтобы понять, почему это так, рассмотрим абсолютные значения чисел:

$$\left|-\frac{1}{\sqrt{2}}\right| = \frac{1}{\sqrt{2}},$$ $$\left|-\frac{1}{\sqrt{5}}\right| = \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Шаг 4: Сравним $\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Для удобства сравним обратные значения $\sqrt{2}$ и $\sqrt{5}$:

$$\sqrt{2} \approx 1.414, \quad \sqrt{5} \approx 2.236,$$

следовательно

$$\sqrt{2} < \sqrt{5}.$$

Шаг 5: Из этого вытекает, что

$$\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{5}},$$

потому что больший корень в знаменателе даёт меньшую дробь.

Шаг 6: Возвращаемся к исходному неравенству с отрицательными числами:

Поскольку

$$\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{5}},$$

то

$$-\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Шаг 7: Для полноты можно переписать сравнение, умножив обе части на $-1$ и поменяв знак:

$$-\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}} \iff \frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Шаг 8: Сравним дроби $\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$ через квадраты:

$$2 < 5,$$

что верно.

Шаг 9: Таким образом, исходное неравенство для аргументов верно, и по возрастанию $\arctg$ имеем:

$$\arctg \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < \arctg \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).$$

Итог: доказано.