ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 75 Алимов — Подробные Ответы

1. корень 3 степени 2 и корень 3 степени 3;
2. корень 4 степени 5 и корень 4 степени 7.

Сравнить числа:

1). $\sqrt[3]{2}$и $\sqrt[3]{3}$

• $2 < 3$
• $\frac{1}{3} < \frac{1}{3}$
• $\sqrt[3]{2} < \sqrt[3]{3}$

2). $\sqrt[4]{5}$и $\sqrt[4]{7}$

• $5 < 7$
• $\frac{1}{4} < \frac{1}{4}$
• $\sqrt[4]{5} < \sqrt[4]{7}$

Задание 1:

Сравнить $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{3}$.

Шаг 1: Вспомним свойства корней.

Корень третьей степени из числа $a$ можно записать как $\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$. Если числа $a$ и $b$ такие, что $a < b$, то и $\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$. Это утверждение работает для всех положительных чисел.

Шаг 2: Применение свойства к нашему случаю.

Здесь мы сравниваем $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{3}$. Мы знаем, что:

$$2 < 3$$

Следовательно, применяя правило, получаем:

$$\sqrt[3]{2} < \sqrt[3]{3}$$

Шаг 3: Доказательство через приближенные значения.

Чтобы более наглядно удостовериться в этом, можно вычислить приближенные значения кубических корней:

• $\sqrt[3]{2} \approx 1.260$
• $\sqrt[3]{3} \approx 1.442$

Очевидно, что $1.260 < 1.442$, что подтверждает, что $\sqrt[3]{2} < \sqrt[3]{3}$.

Задание 2:

Сравнить $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[4]{7}$.

Шаг 1: Вспомним свойства корней.

Корень четвертой степени из числа $a$ можно записать как $\sqrt[4]{a} = a^{1/4}$. Если числа $a$ и $b$ такие, что $a < b$, то и $\sqrt[4]{a} < \sqrt[4]{b}$. Это аналогичное правило работает и для четвертых корней.

Шаг 2: Применение свойства к нашему случаю.

Здесь мы сравниваем $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[4]{7}$. Мы знаем, что:

$$5 < 7$$

Следовательно, по аналогии:

$$\sqrt[4]{5} < \sqrt[4]{7}$$

Шаг 3: Доказательство через приближенные значения.

Для того чтобы убедиться в правильности этого сравнения, вычислим приближенные значения корней:

• $\sqrt[4]{5} \approx 1.495$
• $\sqrt[4]{7} \approx 1.626$

Как и в предыдущем случае, видно, что:

$$1.495 < 1.626$$

Это подтверждает, что $\sqrt[4]{5} < \sqrt[4]{7}$.

Вывод:

1. $\sqrt[3]{2} < \sqrt[3]{3}$ (доказано через правило и приближенные значения).
2. $\sqrt[4]{5} < \sqrt[4]{7}$ (доказано через правило и приближенные значения).