ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 748 Алимов — Подробные Ответы

1. y=tg(3x-пи/4);
2. y=ctg(3(x+пи/6).

$y = \operatorname{tg}\left(3x — \frac{\pi}{4}\right);$

а) Область определения:

$$3x — \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$3x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n;$$ $$x \neq \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3\pi}{4} + \pi n\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3};$$

б) Область значений:

$$E(y) = (-\infty; +\infty);$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$\operatorname{tg}\left(3(x + T) — \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(3x — \frac{\pi}{4}\right);$$ $$\operatorname{tg}\left(3x — \frac{\pi}{4} + 3T\right) = \operatorname{tg}\left(3x — \frac{\pi}{4}\right);$$ $$3T = \pi;$$ $$T = \frac{\pi}{3};$$

г) Функция ни четная, ни нечетная:

$$y(-x) = \operatorname{tg}\left(-3x — \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(3x + \frac{\pi}{4}\right);$$

д) Нули функции:

$$\operatorname{tg}\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = 0;$$ $$3x — \frac{\pi}{4} = \arctg 0 + \pi n = \pi n;$$ $$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{\pi}{4} + \pi n\right) = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3};$$

$y = \operatorname{ctg}\left(3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = \operatorname{ctg}\left(3x + \frac{\pi}{2}\right) = -\operatorname{tg}(3x);$

а) Область определения:

$$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3};$$

б) Область значений:

$$E(y) = (-\infty; +\infty);$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$-\operatorname{tg}(3 \cdot (x + T)) = -\operatorname{tg}(3x);$$ $$\operatorname{tg}(3x + 3T) = \operatorname{tg}(3x);$$ $$3T = \pi;$$ $$T = \frac{\pi}{3};$$

г) Функция нечетная:

$$y(-x) = -\operatorname{tg}(-3x) = \operatorname{tg}(3x) = -y(x);$$

д) Нули функции:

$$-\operatorname{tg}(3x) = 0;$$ $$\operatorname{tg}(3x) = 0;$$ $$3x = \arctg 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x=\frac{\pi n}{3}$$

Рассмотрим две функции:

1. $y = \operatorname{tg}\left(3x — \frac{\pi}{4}\right)$;
2. $y = \operatorname{ctg}\left(3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = \operatorname{ctg}\left(3x + \frac{\pi}{2}\right) = -\operatorname{tg}(3x)$.

1) Функция $y = \operatorname{tg}\left(3x — \frac{\pi}{4}\right)$

а) Область определения

Функция $\operatorname{tg}(t)$ не определена в точках $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, т.к. в этих точках происходит разрыв (вертикальная асимптота).

Для нашей функции аргументом является выражение $3x — \frac{\pi}{4}$, поэтому:

$$3x — \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Решаем неравенство для $x$:

$$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

Делим обе части на 3:

$$x \neq \frac{1}{3} \left( \frac{3\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$$

Таким образом, область определения функции:

$$D(y) = \mathbb{R} \setminus \left\{ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3} \mid n \in \mathbb{Z} \right\}$$

б) Область значений

Функция $\operatorname{tg}(t)$ при $t \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + \pi n \right\}$ принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$.

Так как $y = \operatorname{tg}(\text{линейная функция от } x)$, её область значений сохраняется:

$$E(y) = (-\infty; +\infty)$$

в) Период функции

Функция $\operatorname{tg}(t)$ периодична с периодом $\pi$:

$$\operatorname{tg}(t + \pi) = \operatorname{tg}(t)$$

Для нашей функции $y = \operatorname{tg}(3x — \frac{\pi}{4})$ проверим периодичность:

Ищем $T$, такой что

$$y(x + T) = y(x) \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg}\left(3(x + T) — \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(3x — \frac{\pi}{4}\right)$$

Подставим и используем периодичность тангенса:

$$\operatorname{tg}\left(3x — \frac{\pi}{4} + 3T\right) = \operatorname{tg}\left(3x — \frac{\pi}{4}\right)$$

Это верно, если

$$3T = k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Берём минимальный положительный период $T > 0$, т.е. $k = 1$:

$$3T = \pi \quad \Rightarrow \quad T = \frac{\pi}{3}$$

г) Чётность функции

Чётная функция удовлетворяет условию $y(-x) = y(x)$, нечётная — $y(-x) = -y(x)$.

Проверим $y(-x)$:

$$y(-x) = \operatorname{tg}\left(3(-x) — \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(-3x — \frac{\pi}{4}\right)$$

Используем формулу:

$$\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$$

Тогда:

$$y(-x) = -\operatorname{tg}\left(3x + \frac{\pi}{4}\right)$$

Сравнивая с $y(x) = \operatorname{tg}\left(3x — \frac{\pi}{4}\right)$, видим, что:

$$y(-x) \neq y(x), \quad y(-x) \neq -y(x)$$

Следовательно, функция ни чётная, ни нечётная.

д) Нули функции

Нули функции находятся из условия:

$$\operatorname{tg}\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = 0$$

Тангенс равен нулю в точках $t = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$:

$$3x — \frac{\pi}{4} = \pi n$$

Решаем для $x$:

$$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$$

2) Функция $y = \operatorname{ctg}\left(3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = \operatorname{ctg}\left(3x + \frac{\pi}{2}\right) = -\operatorname{tg}(3x)$

а) Область определения

Функция $\operatorname{ctg}(t)$ не определена при $t = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, поскольку там вертикальные асимптоты.

Рассмотрим аргумент функции:

$$3x + \frac{\pi}{2} \neq \pi n$$

Или:

$$3x \neq \pi n — \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi (n-1)$$

Переобозначим $n-1 \to m \in \mathbb{Z}$:

$$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$$

Разделим обе части на 3:

$$x \neq \frac{1}{3} \left(\frac{\pi}{2} + \pi m \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$$

Область определения:

$$D(y) = \mathbb{R} \setminus \left\{ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} \mid n \in \mathbb{Z} \right\}$$

б) Область значений

Функция $\operatorname{ctg}(t)$ принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, аналогично функции $\operatorname{tg}(t)$, но с вертикальными асимптотами в других точках.

Таким образом, область значений:

$$E(y) = (-\infty; +\infty)$$

в) Период функции

Функция $\operatorname{ctg}(t)$ периодична с периодом $\pi$:

$$\operatorname{ctg}(t + \pi) = \operatorname{ctg}(t)$$

Проверяем периодичность функции $y(x) = \operatorname{ctg}(3x + \frac{\pi}{2})$.

Ищем $T$, такой что

$$y(x + T) = y(x) \implies \operatorname{ctg}(3(x + T) + \frac{\pi}{2}) = \operatorname{ctg}(3x + \frac{\pi}{2})$$

По периодичности котангенса:

$$3T = k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Минимальный положительный период при $k = 1$:

$$T = \frac{\pi}{3}$$

г) Чётность функции

Функция $y = \operatorname{ctg}(3x + \frac{\pi}{2})$ равна $-\operatorname{tg}(3x)$, рассмотрим её чётность:

$$y(-x) = -\operatorname{tg}(-3x) = -(-\operatorname{tg}(3x)) = \operatorname{tg}(3x) = -y(x)$$

Таким образом, функция $y(x)$ нечётная, так как

$$y(-x) = -y(x)$$

д) Нули функции

Нули функции $y = -\operatorname{tg}(3x)$ находятся из уравнения:

$$-\operatorname{tg}(3x) = 0 \implies \operatorname{tg}(3x) = 0$$

Тангенс равен нулю при

$$3x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Решаем для $x$:

$$x = \frac{\pi n}{3}$$