ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 747 Алимов — Подробные Ответы

1. у = tg х ctg x;
2. у = sin x ctg x.

$y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = \operatorname{tg} x \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} x} = 1$;

Область определения функции:
$x_1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{и} \quad x_2 \neq \pi n;$
$x \neq \frac{\pi n}{2};$

$y = \sin x \cdot \operatorname{ctg} x = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$;

а) Область определения:
$x \neq \pi n;$

б) Область значений:
$-1 \leq \cos x \leq 1;$
$E(y) = [-1; 1];$

в) Период функции:
$y(x + T) = y(x);$
$\cos(x + T) = \cos x;$
$T = 2\pi;$

г) Функция четная:
$y(-x) = \cos(-x) = \cos x = y(x);$

д) Нули функции:
$\cos x = 0;$
$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$

е) Максимальные значения:
$\cos x = 1;$
$x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n;$

ж) Минимальные значения:
$\cos x = -1;$
$x=\pi -\arccos 1+2\pi n=\pi +2\pi n$

$x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n;$

1) Функция:

$$y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = \operatorname{tg} x \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} x} = 1$$

Разбор задачи:

Шаг 1. Выражение функции

• Функция задана как произведение тангенса и котангенса:

$$y = \tan x \cdot \cot x$$

• Из определения котангенса: $\cot x = \frac{1}{\tan x}$, если $\tan x \neq 0$.
• Подставим:

$$y = \tan x \cdot \frac{1}{\tan x} = 1$$

• Таким образом, функция $y$ равна константе $1$ для всех допустимых значений $x$.

Шаг 2. Область определения функции

Область определения — все значения $x$, при которых функция определена (без деления на ноль и прочих проблем).

• Тангенс определён на $\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi n \right\}$, $n \in \mathbb{Z}$, так как в этих точках $\cos x = 0$, а тангенс — отношение $\frac{\sin x}{\cos x}$.
• Котангенс определён на $\mathbb{R} \setminus \{ \pi n \}$, где $\sin x = 0$, а $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
• Так как $y = \tan x \cdot \cot x$, нужно исключить все точки, где хотя бы один из этих множителей не определён:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{и} \quad x \neq \pi n$$

• Это объединённое условие записывается как:

$$x \neq \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

• Иначе говоря, функция не определена в точках, кратных $\frac{\pi}{2}$.

Итог по первой функции:

• Функция равна $1$ везде, где она определена.
• Область определения:

$$D(y) = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi n}{2} \mid n \in \mathbb{Z} \right\}$$

2) Функция:

$$y = \sin x \cdot \operatorname{ctg} x = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$$

Разбор задачи:

а) Область определения функции

• Функция задана как $y = \sin x \cdot \cot x$.
• Котангенс $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ не определён в точках, где $\sin x = 0$.
• Значит, исключаем из области определения все $x$, такие что:

$$\sin x = 0 \implies x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

• Поэтому:

$$D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \pi n \}$$

б) Область значений функции

• Так как:

$$y = \cos x$$

• Значения косинуса лежат в интервале:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

• Обозначим множество значений функции:

$$E(y) = [-1, 1]$$

в) Период функции

• Функция $y = \cos x$ является периодической с периодом $2\pi$.
• То есть для любого $x$ и периода $T$ верно:

$$y(x + T) = y(x)$$

• Подставим:

$$\cos(x + T) = \cos x$$

• Минимальный положительный период косинуса равен:

$$T = 2\pi$$

г) Чётность функции

• Проверим, является ли функция чётной:

$$y(-x) = \cos(-x)$$

• Известно, что косинус — чётная функция:

$$\cos(-x) = \cos x$$

• Значит:

$$y(-x) = y(x)$$

• Следовательно, $y = \cos x$ — чётная функция.

д) Нули функции

• Найдём $x$, при которых функция равна нулю:

$$\cos x = 0$$

• Косинус равен нулю при:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

• Запишем решение через арккосинус:

$$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

е) Максимальные значения функции

• Максимум функции достигается при:

$$\cos x = 1$$

• При каких $x$ косинус равен 1?

$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

• Можно записать через арккосинус:

$$x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n$$

ж) Минимальные значения функции

• Минимум функции достигается при:

$$\cos x = -1$$

• Значит, при:

$$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

• Это можно выразить через арккосинус:

$$x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n$$

Итог по второй функции:

• $y = \cos x$, с областью определения $x \neq \pi n$.
• Область значений: $[-1, 1]$.
• Период $2\pi$.
• Функция чётная.
• Нули: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
• Максимумы: $x = 2\pi n$.
• Минимумы: $x = \pi + 2\pi n$.