ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 746 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции (746—748).

1. у = tg|x|;
2. у = |tgx|;
3. у = ctg х;
4. у= 1/ctg х.

$y = \operatorname{tg} |x|$;

а) Область определения:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

б) Область значений:

$$E(y) = (-\infty; +\infty);$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$\operatorname{tg}|x + T| = \operatorname{tg}|x|;$$ $$T = \pi;$$

г) Функция четная:

$$y(-x) = \operatorname{tg}|-x| = \operatorname{tg}|x| = y(x);$$

д) Нули функции:

$$\operatorname{tg}|x| = 0;$$ $$|x| = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \pi n;$$

$y = |\operatorname{tg} x|$;

а) Область определения:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

б) Область значений:

$$E(y) = [0; +\infty);$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$|\operatorname{tg}(x + T)| = |\operatorname{tg} x|;$$ $$\begin{cases} \operatorname{tg}(x + T) = \operatorname{tg} x \\ \operatorname{tg}(x + T) = -\operatorname{tg} x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} T = \pi \\ T — \text{не существует}; \end{cases}$$ $$T = \pi;$$

г) Функция четная:

$$y(-x) = |\operatorname{tg}(-x)| = |-\operatorname{tg} x| = |\operatorname{tg} x| = y(x);$$

д) Нули функции:

$$|\operatorname{tg} x| = 0;$$ $$\operatorname{tg} x = 0;$$ $$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n;$$

е) Минимальные значения:

$$x = \pi n;$$

$y = \operatorname{ctg} x$;

а) Область определения:

$$x \neq \pi n;$$

б) Область значений:

$$E(y) = (-\infty; +\infty);$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$\operatorname{ctg}(x + T) = \operatorname{ctg}(x);$$ $$T = \pi n;$$

г) Функция нечетная:

$$y(-x) = \operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x = -y(x);$$

д) Нули функции:

$$\operatorname{ctg} x = 0;$$ $$x = \operatorname{arcctg} 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

$y = \frac{1}{\operatorname{ctg} x} = \operatorname{tg} x$;

а) Область определения:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

б) Область значений:

$$E(y) = (-\infty; +\infty);$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$\operatorname{tg}(x + T) = \operatorname{tg}(x);$$ $$T = \pi n;$$

г) Функция нечетная:

$$y(-x) = \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x = -y(x);$$

д) Нули функции:

$$\operatorname{tg} x = 0;$$ $$x=\mathrm{arctg}0+\pi n=\pi n$$

1) $y = \operatorname{tg} |x|$

а) Область определения

Функция тангенс $\operatorname{tg} t$ не определена в точках, где $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, так как в этих точках происходит вертикальная асимптота (значение функции стремится к бесконечности).

В нашей функции аргумент — это $|x|$, абсолютное значение $x$.

Чтобы функция была определена, надо, чтобы:

$$|x| \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Поскольку $|x| \geq 0$, $|x|$ принимает только неотрицательные значения. Однако $|x|$ не может равняться этим точкам, следовательно:

$$x \neq \pm \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right).$$

Но формально для удобства записываем область определения как:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

б) Область значений

Тангенс — функция, принимающая все значения от $-\infty$ до $+\infty$ (без ограничений).

Абсолютное значение аргумента не влияет на диапазон значений, потому что $\operatorname{tg}|x|$ — просто тангенс с положительным аргументом, но с сохранением знака.

Таким образом:

$$E(y) = (-\infty; +\infty).$$

в) Период функции

Функция $\operatorname{tg} t$ периодична с периодом $\pi$, то есть:

$$\operatorname{tg}(t + \pi) = \operatorname{tg}(t).$$

Для $y = \operatorname{tg}|x|$:

$$y(x + T) = \operatorname{tg} |x + T| = y(x) = \operatorname{tg} |x|.$$

Проверим, какой период $T$ подходит:

• Если $T = \pi$, то $|x + \pi|$ не обязательно равно $|x|$, но для тангенса это несущественно, потому что:

$$\operatorname{tg}|x + \pi| = \operatorname{tg}(|x| + \pi) = \operatorname{tg}|x|.$$

Следовательно:

$$T = \pi.$$

г) Чётность функции

Чётность проверяется по определению:

$$y(-x) \stackrel{?}{=} y(x).$$

Подставим:

$$y(-x) = \operatorname{tg}|-x| = \operatorname{tg}|x| = y(x).$$

Значит, функция чётная.

д) Нули функции

Нули функции тангенс определяются из условия:

$$\operatorname{tg}|x| = 0.$$

Тангенс равен нулю в точках:

$$|x| = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Следовательно:

$$x = \pm \pi n,$$

или проще:

$$x = \pi n.$$

2) $y = |\operatorname{tg} x|$

а) Область определения

Функция $\operatorname{tg} x$ не определена в точках:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Модуль не меняет область определения, следовательно:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

б) Область значений

Так как модуль тангенса берётся, значения функции не могут быть отрицательными:

$$E(y) = [0; +\infty).$$

в) Период функции

Функция $\operatorname{tg} x$ имеет период $\pi$, но так как мы берём модуль, нам нужно проверить период функции:

$$y(x + T) = |\operatorname{tg}(x + T)| = |\operatorname{tg} x| = y(x).$$

Возможны два случая для тангенса:

• $\operatorname{tg}(x + T) = \operatorname{tg} x$ — тогда $T = \pi$.
• $\operatorname{tg}(x + T) = -\operatorname{tg} x$ — тогда $T$ не существует, потому что для тангенса период $\pi$, а изменение знака приводит к тому, что период не является периодом модуля.

Поэтому:

$$T = \pi.$$

г) Чётность функции

Проверим чётность:

$$y(-x) = |\operatorname{tg}(-x)| = |-\operatorname{tg} x| = |\operatorname{tg} x| = y(x).$$

Функция чётная.

д) Нули функции

Условие нуля:

$$|\operatorname{tg} x| = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} x = 0.$$

Нули тангенса:

$$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n.$$

е) Минимальные значения

Минимальные значения функции — это точки, где $y = 0$, то есть:

$$x = \pi n.$$

3) $y = \operatorname{ctg} x$

а) Область определения

Котангенс $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ не определён там, где $\sin x = 0$, то есть:

$$x \neq \pi n.$$

б) Область значений

Котангенс принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$:

$$E(y) = (-\infty; +\infty).$$

в) Период функции

Период котангенса:

$$\operatorname{ctg}(x + \pi) = \operatorname{ctg} x,$$

значит период:

$$T = \pi.$$

г) Нечётность функции

Проверяем:

$$y(-x) = \operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x = -y(x).$$

Функция нечётная.

д) Нули функции

Котангенс равен нулю там, где тангенс бесконечен, то есть:

$$\operatorname{ctg} x = 0 \Rightarrow x = \operatorname{arcctg} 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

4) $y = \frac{1}{\operatorname{ctg} x} = \operatorname{tg} x$

а) Область определения

Данная функция определена там, где котангенс не равен нулю:

$$\operatorname{ctg} x \neq 0,$$

то есть:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

б) Область значений

Функция тангенс принимает значения:

$$E(y) = (-\infty; +\infty).$$

в) Период функции

Период тангенса:

$$T = \pi.$$

г) Нечётность функции

Проверка чётности:

$$y(-x) = \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x = -y(x).$$

Функция нечётная.

д) Нули функции

Нули тангенса:

$$\operatorname{tg} x = 0 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n.$$