ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 745 Алимов — Подробные Ответы

Найти множество значений функции у — tg х, если х принадлежит промежутку:

1. [-пи/4; пи/3];
2. (3пи/4; 3пи/2);
3. (0;пи);
4. [пи/4; 3пи/4].

Дана функция $y = \operatorname{tg} x$.

1. На отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right]$ функция монотонно возрастает;

$y_{\text{min}} = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = -1$;

$y_{\text{max}} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$;

Ответ: $E(y) = [-1; \sqrt{3}]$.

2. На промежутке $\left(\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}\right)$ функция монотонно возрастает;

$y_{\text{min}} = \operatorname{tg}\frac{3\pi}{4} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = -1$;

$y_{\text{max}} = \operatorname{tg}\frac{3\pi}{2} = \operatorname{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{2}$ — не существует;

Ответ: $E(y) = (-1; +\infty)$.

3. На промежутке $(0; \pi)$ функция имеет разрыв в точке $\frac{\pi}{2}$;

На промежутке $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$:

$y_{\text{min}} = \operatorname{tg} 0 = 0$;

$y_{\text{max}} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{2}$ — не существует;

На промежутке $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$:

$y_{\text{min}} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{2}$ — не существует;

$y_{\text{max}} = \operatorname{tg} \pi = 0$;

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4. На отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$ функция имеет разрыв в точке $\frac{\pi}{2}$;

На промежутке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$:

$y_{\text{min}} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$;

$y_{\text{max}} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{2}$ — не существует;

На промежутке $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}\right]$:

$y_{\text{min}} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{2}$ — не существует;

$y_{\text{max}} = \operatorname{tg}\frac{3\pi}{4} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = -1$;

Ответ: $E(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Дана функция $y = \operatorname{tg} x$.

Общие сведения о функции $y=$$y = \operatorname{tg} x$:

• Область определения: все $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, т.к. в этих точках тангенс не определён (вертикальные асимптоты).
• Область значений: $(-\infty, +\infty)$, тангенс принимает все действительные значения.
• Период: $\pi$, то есть функция повторяется на каждом отрезке длины $\pi$.
• Монотонность: на каждом промежутке $\left(\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{3\pi}{2} + \pi n\right)$ функция строго возрастает.
• Асимптоты: вертикальные, расположены в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

1) На отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right]$ функция монотонно возрастает.

Почему функция возрастает?

Тангенс — строго возрастающая функция на промежутках между асимптотами, и так как:

$$-\frac{\pi}{4} > -\frac{\pi}{2}, \quad \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2},$$

то отрезок $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right]$ находится полностью внутри промежутка определения, где функция возрастает.

Находим минимальное значение $y_{\min}$:

$$y_{\min} = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right).$$

Используем формулу:

$$\operatorname{tg}(-\theta) = -\operatorname{tg}(\theta),$$

поэтому

$$\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = -1.$$

Находим максимальное значение $y_{\max}$:

$$y_{\max} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}.$$

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{3}$ известно из тригонометрии:

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}.$$

Итог для 1):

Функция возрастает на этом отрезке от $-1$ до $\sqrt{3}$, значит

$$E(y) = [-1; \sqrt{3}].$$

2) На промежутке $\left(\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}\right)$ функция монотонно возрастает.

Почему возрастает?

• $\frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$,
• $\frac{3\pi}{2} = \pi + \frac{\pi}{2}$,

а асимпота расположена в точке $\frac{\pi}{2} + \pi n$. На этом промежутке нет асимптот, кроме $\frac{3\pi}{2}$ — это правая граница.

Минимальное значение $y_{\min}$:

$$y_{\min} = \operatorname{tg}\frac{3\pi}{4} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right).$$

Используем формулу для тангенса суммы:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{ctg} \alpha.$$

Подставляем $\alpha = \frac{\pi}{4}$:

$$y_{\min} = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}.$$

Из тригонометрии:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1,$$

поэтому

$$y_{\min} = -1.$$

Максимальное значение $y_{\max}$:

$$y_{\max} = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{2} = \operatorname{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{2}\right).$$

Точка $\frac{3\pi}{2}$ — это вертикальная асимптота, где тангенс не существует (функция стремится к $+\infty$ или $-\infty$).

Итог для 2):

Функция возрастает на $\left(\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}\right)$ от $-1$ до $+\infty$:

$$E(y) = (-1; +\infty).$$

3) На промежутке $(0; \pi)$ функция имеет разрыв в точке $\frac{\pi}{2}$.

Разбиваем промежуток на два:

• $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$,
• $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$.

На промежутке $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$:

• $y_{\min} = \operatorname{tg} 0 = 0$,
• $y_{\max} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{2}$ — не существует (асимптота).

На промежутке $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$:

• $y_{\min} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{2}$ — не существует,
• $y_{\max} = \operatorname{tg} \pi = 0$.

Итог для 3):

Область значений на этом промежутке — объединение двух интервалов:

$$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty).$$

4) На отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$ функция имеет разрыв в точке $\frac{\pi}{2}$.

Делим отрезок на две части:

• $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$,
• $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}\right]$.

На промежутке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$:

• $y_{\min} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$,
• $y_{\max} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{2}$ — не существует (асимптота).

На промежутке $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}\right]$:

• $y_{\min} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{2}$ — не существует,
• $y_{\max} = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1$.

Итог для 4):

Область значений — объединение:

$$E(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty).$$