ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 743 Алимов — Подробные Ответы

Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку (-пи/2;пи):

1. tg2x < =1;
2. tg3x < -корень 3.

Требуется найти решения неравенства на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \pi\right)$;

1.

$$\operatorname{tg} 2x \leq 1;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x \leq \operatorname{arctg} 1 + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x \leq \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x \leq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Значения на искомом промежутке:

$$-\frac{\pi}{2} < x_1 \leq -\frac{3\pi}{8};$$ $$-\frac{\pi}{4} < x_2 \leq \frac{\pi}{8};$$ $$\frac{\pi}{4} < x_3 \leq \frac{5\pi}{8};$$ $$\frac{3\pi}{4} < x_4 < \pi;$$

2.

$$\operatorname{tg} 3x < -\sqrt{3};$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 3x < \operatorname{arctg} (-\sqrt{3}) + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 3x < -\frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} < x < -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3};$$

Значения на искомом промежутке:

$$-\frac{\pi}{2} < x_1 < -\frac{4\pi}{9};$$ $$-\frac{\pi}{6} < x_2 < -\frac{\pi}{9};$$ $$\frac{\pi}{6} < x_3 < \frac{2\pi}{9};$$ $$\frac{\pi}{2} < x_4 < \frac{5\pi}{9};$$ $$\frac{5\pi }{6}<x_5<\frac{8\pi }{9}$$

Требуется найти решения неравенств на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \pi\right)$.

1) Решение неравенства

$$\operatorname{tg} 2x \leq 1$$

Шаг 1: Анализ неравенства

Имеется функция $y = \operatorname{tg} 2x$. Требуется найти все $x$ из промежутка $\left(-\frac{\pi}{2}; \pi\right)$, при которых значение тангенса удвоенного аргумента не больше 1.

Шаг 2: Свойства функции $\operatorname{tg} \theta$

• Функция $\operatorname{tg} \theta$ периодична с периодом $\pi$.
• Вертикальные асимптоты в точках $\theta = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
• На каждом промежутке между асимптотами функция строго возрастает от $-\infty$ до $+\infty$.

Шаг 3: Обратная функция и общее решение

Рассмотрим неравенство для переменной $t = 2x$:

$$\operatorname{tg} t \leq 1$$

Решения $\operatorname{tg} t = 1$ имеют вид:

$$t = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4: Анализ решения для $t$

Функция $\operatorname{tg} t$ возрастает от $-\infty$ до $+\infty$ на каждом промежутке

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Поскольку $\operatorname{tg} t \leq 1$, то на каждом таком промежутке:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \leq \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 5: Выражаем через $x$

Так как $t = 2x$, поделим неравенство на 2:

$$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x \leq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 6: Подбор значений $n$ для попадания в промежуток $\left(-\frac{\pi}{2}; \pi\right)$

Ищем такие $n$, при которых

$$-\frac{\pi}{2} < x \leq \pi$$

Подставляем разные $n$:

• Для $n = -1$:

$$-\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{4} < x \leq \frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{8}$$

Но $-\frac{3\pi}{4} \approx -2.36$ меньше $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, значит граница с левой стороны выходит за пределы промежутка. Поскольку $x > -\frac{\pi}{2}$, левая граница для корней $x_1$ будет $-\frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим диапазон с учётом условия:

$$-\frac{\pi}{2} < x_1 \leq -\frac{3\pi}{8}$$

• Для $n = 0$:

$$-\frac{\pi}{4} < x_2 \leq \frac{\pi}{8}$$

Обе границы лежат внутри промежутка, значит этот корень подходит полностью.

• Для $n = 1$:

$$\frac{\pi}{4} < x_3 \leq \frac{5\pi}{8}$$

В пределах промежутка, включаем.

• Для $n = 2$:

$$\frac{3\pi}{4} < x_4 \leq \frac{9\pi}{8}$$

Правая граница выходит за пределы $\pi$, т.к. $\frac{9\pi}{8} > \pi$.

Поэтому учитываем

$$\frac{3\pi}{4} < x_4 < \pi$$

Итог решения 1):

$$\boxed{ \begin{aligned} & -\frac{\pi}{2} < x_1 \leq -\frac{3\pi}{8} \\ & -\frac{\pi}{4} < x_2 \leq \frac{\pi}{8} \\ & \frac{\pi}{4} < x_3 \leq \frac{5\pi}{8} \\ & \frac{3\pi}{4} < x_4 < \pi \end{aligned} }$$

2) Решение неравенства

$$\operatorname{tg} 3x < -\sqrt{3}$$

Шаг 1: Анализ неравенства

Рассматриваем функцию $y = \operatorname{tg} 3x$, нужно найти $x$ из промежутка $\left(-\frac{\pi}{2}; \pi\right)$, при которых $\operatorname{tg} 3x < -\sqrt{3}$.

Шаг 2: Решение для переменной $t = 3x$

Рассмотрим:

$$\operatorname{tg} t < -\sqrt{3}$$

Шаг 3: Значение $\operatorname{arctg} (-\sqrt{3})$

Знаем, что

$$\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$$

Следовательно:

$$\operatorname{arctg} (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$$

Шаг 4: Общие интервалы, где выполняется неравенство

Функция $\operatorname{tg} t$ растёт на каждом промежутке

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Значение $\operatorname{tg} t < -\sqrt{3}$ достигается на участке от левой асимптоты до точки $t = -\frac{\pi}{3} + \pi n$:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 5: Подставляем $t = 3x$, делим на 3:

$$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} < x < -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$$

Шаг 6: Поиск решений на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \pi\right)$

Подставим различные $n$:

• Для $n = -1$:

$$-\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{9} — \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{9} \approx -1.396$$

Так как левая граница совпадает с левым концом промежутка, используем

$$-\frac{\pi}{2} < x_1 < -\frac{4\pi}{9}$$

• Для $n=0$:

$$-\frac{\pi}{6} < x_2 < -\frac{\pi}{9}$$

• Для $n=1$:

$$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} < x_3 < -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{9}$$

• Для $n=2$:

$$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} < x_4 < -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{9}$$

• Для $n=3$:

$$-\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} < x_5 < -\frac{\pi}{9} + \pi = \frac{8\pi}{9}$$

Поскольку $\frac{8\pi}{9} \approx 2.79 < \pi \approx 3.14$, весь интервал лежит внутри промежутка.

Итог решения 2):

$$\boxed{ \begin{aligned} & -\frac{\pi}{2} < x_1 < -\frac{4\pi}{9} \\ & -\frac{\pi}{6} < x_2 < -\frac{\pi}{9} \\ & \frac{\pi}{6} < x_3 < \frac{2\pi}{9} \\ & \frac{\pi}{2} < x_4 < \frac{5\pi}{9} \\ & \frac{5\pi}{6} < x_5 < \frac{8\pi}{9} \end{aligned} }$$

Мы подробно рассмотрели оба неравенства:

• Использовали периодичность функции $\operatorname{tg}$ и свойства её возрастания.
• Применили обратную функцию $\operatorname{arctg}$ для нахождения ключевых значений.
• Разделили промежуток на интервалы с учётом периодичности.
• Проверили попадание в искомый промежуток $\left(-\frac{\pi}{2}; \pi\right)$.