ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 738 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1. tgx > 1;
2. tg х < = корень 3;
3. tg x < = корень 3/3;
4. tgx > -1.

1. $\operatorname{tg} x < 1$;
   $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \arctg 1 + \pi n$;
   $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$;
2. $\operatorname{tg} x \geq \sqrt{3}$;
   $\arctg \sqrt{3} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
3. $\operatorname{tg} x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$;
   $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \arctg \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) + \pi n$;
   $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq -\arctg \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n$;
   $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq -\frac{\pi}{6} + \pi n$;
4. $\operatorname{tg} x > -1$;
   $\arctg (-1) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $-\arctg 1 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$

Найдём решения заданных неравенств с тангенсом на общем виде с учётом периодичности и особенностей функции.

Напоминания

• Функция $\tg x$ — периодическая с периодом $\pi$.
• Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где вертикальные асимптоты.
• Общее решение уравнения $\tg x = a$ — $x = \arctg a + \pi n$.
• Интервалы, на которых тангенс принимает значения, строго зависят от асимптот.

1) Решение неравенства

$$\tg x < 1$$

Шаг 1: Найдём $\arctg 1$

$$\arctg 1 = \frac{\pi}{4}$$

(потому что $\tg \frac{\pi}{4} = 1$)

Шаг 2: Анализ поведения функции

На промежутке между асимптотами:

$$\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n\right)$$

функция строго возрастает от $-\infty$ до $+\infty$.

Шаг 3: Интервал решения неравенства $\tg x < 1$

Поскольку функция возрастает, решение

$$\tg x < 1$$

будет промежутком слева от точки $x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Итог:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$$

2) Решение неравенства

$$\tg x \geq \sqrt{3}$$

Шаг 1: Найдём $\arctg \sqrt{3}$

$$\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$$

(так как $\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$)

Шаг 2: Интервал решения

Функция $\tg x$ на интервале между асимптотами

$$\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n\right)$$

растёт от $-\infty$ до $+\infty$.

Неравенство

$$\tg x \geq \sqrt{3}$$

означает, что $x$ лежит справа от точки $\frac{\pi}{3} + \pi n$ вплоть до асимптоты справа:

$$\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Итог:

$$\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

3) Решение неравенства

$$\tg x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 1: Найдём $\arctg \frac{\sqrt{3}}{3}$

$$\arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 2: Найдём $\arctg \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Поскольку

$$\arctg(-a) = -\arctg a,$$

то

$$\arctg \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$$

Шаг 3: Интервал решения

Рассмотрим общую схему. На промежутках между асимптотами $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n\right)$ функция возрастает от $-\infty$ до $+\infty$.

Неравенство

$$\tg x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$$

означает, что $x$ находится слева от точки $\arctg \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n$, но в условии указано со знаком $\leq$ и знак $\leq$ применён к $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

В решении записано:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \arctg \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n$$

то есть:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq -\frac{\pi}{6} + \pi n$$

Итог:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq -\frac{\pi}{6} + \pi n$$

4) Решение неравенства

$$\tg x > -1$$

Шаг 1: Найдём $\arctg(-1)$

$$\arctg (-1) = -\frac{\pi}{4}$$

Шаг 2: Интервал решения

Рассмотрим промежуток

$$\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n\right)$$

Тангенс возрастает, поэтому

$$\tg x > -1$$

означает, что $x$ находится справа от точки $-\frac{\pi}{4} + \pi n$:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Итог:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Итог: