ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 736 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку (-пи; 2пи):

1. tgx = 1;
2. tg х = корень 3;
3. tg x = — корень 3;
4. tgx = -1.

Требуется найти корни уравнения на промежутке $(-π; 2π)$:

1. $\tg x = 1$;
   $x = \arctg 1 + πn = \frac{π}{4} + πn$;
   Значения на искомом отрезке:
   $x_1 = \frac{π}{4} — π = -\frac{3π}{4}$;
   $x_2 = \frac{π}{4}$;
   $x_3 = \frac{π}{4} + π = \frac{5π}{4}$;
2. $\tg x = \sqrt{3}$;
   $x = \arctg \sqrt{3} + πn = \frac{π}{3} + πn$;
   Значения на искомом отрезке:
   $x_1 = \frac{π}{3} — π = -\frac{2π}{3}$;
   $x_2 = \frac{π}{3}$;
   $x_3 = \frac{π}{3} + π = \frac{4π}{3}$;
3. $\tg x = -\sqrt{3}$;
   $x = -\arctg \sqrt{3} + πn = -\frac{π}{3} + πn$;
   Значения на искомом отрезке:
   $x_1 = -\frac{π}{3}$;
   $x_2 = -\frac{π}{3} + π = \frac{2π}{3}$;
   $x_3 = -\frac{π}{3} + 2π = \frac{5π}{3}$;
4. $\tg x = -1$;
   $x = -\arctg 1 + πn = -\frac{π}{4} + πn$;
   Значения на искомом отрезке:
   $x_1 = -\frac{π}{4}$;
   $x_2 = -\frac{π}{4} + π = \frac{3π}{4}$;
   $x_3 = -\frac{π}{4} + 2π = \frac{7π}{4}$

Найти все корни уравнений вида:

$$\tg x = k$$

на промежутке:

$$(-\pi; 2\pi)$$

для следующих значений $k$:

1. $k = 1$
2. $k = \sqrt{3}$
3. $k = -\sqrt{3}$
4. $k = -1$

Тангенс функции $\tg x$ — периодическая функция с периодом $\pi$:

$$\tg (x + \pi) = \tg x$$

Общее решение уравнения $\tg x = a$ записывается как:

$$x = \arctg a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

где $\arctg a$ — главный аргумент тангенса (арктангенс $a$).

Для каждого уравнения:

1. Найдём главный корень $x_0 = \arctg k$ (арктангенс $k$).
2. Запишем общее решение $x = x_0 + \pi n$, где $n$ — целое число.
3. Найдём все $n$, при которых $x \in (-\pi; 2\pi)$.
4. Выпишем все такие корни.

1) Решение уравнения $\tg x = 1$

Шаг 1: Найдём $\arctg 1$

$$\arctg 1 = \frac{\pi}{4}$$

(Поскольку $\tg \frac{\pi}{4} = 1$)

Шаг 2: Общее решение

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Найдём $n$, при которых $x \in (-\pi; 2\pi)$

Промежуток: $-\pi < x < 2\pi$

Подставим $x$:

$$-\pi < \frac{\pi}{4} + \pi n < 2\pi$$

Вычислим неравенства отдельно.

Левая граница:

$$-\pi < \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$:

$$-\pi — \frac{\pi}{4} < \pi n$$ $$-\frac{4\pi}{4} — \frac{\pi}{4} < \pi n$$ $$-\frac{5\pi}{4} < \pi n$$

Разделим на $\pi > 0$ (на знак не влияет):

$$-\frac{5}{4} < n$$

Правая граница:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n < 2\pi$$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$:

$$\pi n < 2\pi — \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$$

Разделим на $\pi$:

$$n < \frac{7}{4}$$

Шаг 4: Найдём целые $n$

$$-\frac{5}{4} < n < \frac{7}{4} \implies -1.25 < n < 1.75$$

Целые числа $n$: $-1, 0, 1$

Шаг 5: Найдём корни $x$

• При $n = -1$:

$$x = \frac{\pi}{4} — \pi = \frac{\pi}{4} — \frac{4\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$$

• При $n = 0$:

$$x = \frac{\pi}{4}$$

• При $n = 1$:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$$

2) Решение уравнения $\tg x = \sqrt{3}$

Шаг 1: Найдём $\arctg \sqrt{3}$

$$\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$$

(Потому что $\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$)

Шаг 2: Общее решение

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 3: Находим $n$, при которых $x \in (-\pi; 2\pi)$:

$$-\pi < \frac{\pi}{3} + \pi n < 2\pi$$

Левая граница:

$$-\pi — \frac{\pi}{3} < \pi n$$ $$-\frac{3\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} < \pi n$$ $$-\frac{4}{3} < n$$

Правая граница:

$$\frac{\pi}{3} + \pi n < 2\pi$$ $$\pi n < 2\pi — \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$$ $$n < \frac{5}{3}$$

Шаг 4: Целые $n$:

$$-\frac{4}{3} < n < \frac{5}{3} \implies -1.33 < n < 1.66$$

Целые: $n = -1, 0, 1$

Шаг 5: Корни $x$:

• $n = -1$:

$$x = \frac{\pi}{3} — \pi = \frac{\pi}{3} — \frac{3\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$$

• $n = 0$:

$$x = \frac{\pi}{3}$$

• $n = 1$:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

3) Решение уравнения $\tg x = -\sqrt{3}$

Шаг 1: Найдём $\arctg (-\sqrt{3})$

Поскольку

$$\arctg (-a) = -\arctg a,$$

то

$$\arctg (-\sqrt{3}) = — \frac{\pi}{3}$$

(потому что $\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$)

Шаг 2: Общее решение

$$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 3: Найдём $n$, для которых

$$-\pi < -\frac{\pi}{3} + \pi n < 2\pi$$

Левая граница:

$$-\pi + \frac{\pi}{3} < \pi n$$ $$-\frac{3\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} < \pi n$$ $$-\frac{2}{3} < n$$

Правая граница:

$$-\frac{\pi}{3} + \pi n < 2\pi$$ $$\pi n < 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$$ $$n < \frac{7}{3}$$

Шаг 4: Целые $n$:

$$-\frac{2}{3} < n < \frac{7}{3} \implies -0.66 < n < 2.33$$

Целые $n$: 0, 1, 2

Шаг 5: Корни $x$:

• $n = 0$:

$$x = -\frac{\pi}{3}$$

• $n = 1$:

$$x = -\frac{\pi}{3} + \pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

• $n = 2$:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$$

4) Решение уравнения $\tg x = -1$

Шаг 1: Найдём $\arctg (-1)$

$$\arctg (-1) = -\frac{\pi}{4}$$

(потому что $\arctg 1 = \frac{\pi}{4}$)

Шаг 2: Общее решение

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 3: Найдём $n$ для

$$-\pi < -\frac{\pi}{4} + \pi n < 2\pi$$

Левая граница:

$$-\pi + \frac{\pi}{4} < \pi n$$ $$-\frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} < \pi n$$ $$-\frac{3}{4} < n$$

Правая граница:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n < 2\pi$$ $$\pi n < 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$$ $$n < \frac{9}{4}$$

Шаг 4: Целые $n$:

$$-\frac{3}{4} < n < \frac{9}{4} \implies -0.75 < n < 2.25$$

Целые $n$: 0, 1, 2

Шаг 5: Корни $x$:

• $n = 0$:

$$x = -\frac{\pi}{4}$$

• $n = 1$:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

• $n = 2$:

$$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$$

Итог:

Все найденные корни на промежутке $(- \pi; 2 \pi)$:

$\tg x = 1$:

$$x = -\frac{3\pi}{4}, \quad \frac{\pi}{4}, \quad \frac{5\pi}{4}$$

$\tg x = \sqrt{3}$:

$$x = -\frac{2\pi}{3}, \quad \frac{\pi}{3}, \quad \frac{4\pi}{3}$$

$\tg x = -\sqrt{3}$:

$$x = -\frac{\pi}{3}, \quad \frac{2\pi}{3}, \quad \frac{5\pi}{3}$$

$\tg x = -1$:

$$x = -\frac{\pi}{4}, \quad \frac{3\pi}{4}, \quad \frac{7\pi}{4}$$