Краткий ответ:
Формула зависимости силы переменного тока от времени: I = A sin ( ω t + φ ) ; I = A \sin(\omega t + \varphi);
1) A = 2 , ω = 1 , φ = π 4 A = 2, \, \omega = 1, \, \varphi = \frac{\pi}{4}
а) Область определения: D ( t ) = ( 0 ; + ∞ ) ; D(t) = (0; +\infty);
б) Область значений: − 1 ≤ sin ( t + π 4 ) ≤ 1 ; -1 \leq \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) \leq 1; − 2 ≤ 2 sin ( t + π 4 ) ≤ 2 ; -2 \leq 2 \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) \leq 2; E ( I ) = [ − 2 ; 2 ] ; E(I) = [-2; 2];
в) Период функции: I ( t + T ) = I ( t ) ; I(t + T) = I(t); 2 sin ( t + T + π 4 ) = 2 sin ( t + π 4 ) ; 2 \sin\left(t + T + \frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right); T = 2 π ; T = 2\pi;
г) Нули функции: 2 sin ( t + π 4 ) = 0 ; 2 \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 0; sin ( t + π 4 ) = 0 ; \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 0; t + π 4 = arcsin 0 + π n = π n ; t + \frac{\pi}{4} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n; t = − π 4 + π n ; t = -\frac{\pi}{4} + \pi n;
д) Максимальные значения: 2 sin ( t + π 4 ) = 2 ; 2 \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 2; sin ( t + π 4 ) = 1 ; \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 1; t + π 4 = arcsin 1 + 2 π n = π 2 + 2 π n ; t + \frac{\pi}{4} = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; t = π 2 − π 4 + 2 π n = 2 π − π 4 + 2 π n = π 4 + 2 π n ; t = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi — \pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;
е) Минимальные значения: sin ( t + π 4 ) = − 1 ; \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = -1; t + π 4 = − arcsin 1 + 2 π n = − π 2 + 2 π n ; t + \frac{\pi}{4} = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; t = − π 2 − π 4 + 2 π n = − 2 π + π 4 + 2 π n = − 3 π 4 + 2 π n t = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi + \pi}{4} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n;
2) A = 1 , ω = 2 , φ = π 3 A = 1, \, \omega = 2, \, \varphi = \frac{\pi}{3}
а) Область определения: D ( t ) = ( 0 ; + ∞ ) ; D(t) = (0; +\infty);
б) Область значений: − 1 ≤ sin ( 2 t + π 3 ) ≤ 1 ; -1 \leq \sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) \leq 1; E ( I ) = [ − 1 ; 1 ] ; E(I) = [-1; 1];
в) Период функции: I ( t + T ) = I ( t ) ; I(t + T) = I(t); sin ( 2 ( t + T ) + π 3 ) = sin ( 2 t + π 3 ) ; \sin\left(2(t + T) + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right); sin ( 2 t + π + π 3 ) = sin ( 2 t + π 3 ) ; \sin\left(2t + \pi + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right); 2 T = 2 π ; 2T = 2\pi; T = π ; T = \pi;
г) Нули функции: sin ( 2 t + π 3 ) = 0 ; \sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = 0; 2 t + π 3 = arcsin 0 + π n = π n ; 2t + \frac{\pi}{3} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n; 2 t = − π 3 + π n ; 2t = -\frac{\pi}{3} + \pi n; t = 1 2 ⋅ ( − π 3 + π n ) = − π 6 + π n 2 ; t = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2};
д) Максимальные значения: sin ( 2 t + π 3 ) = 1 ; \sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = 1; 2 t + π 3 = arcsin 1 + 2 π n = π 2 + 2 π n ; 2t + \frac{\pi}{3} = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; 2 t = π 2 − π 3 + 2 π n = 3 π − 2 π 6 + 2 π n = π 6 + 2 π n ; 2t = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi — 2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n; t = 1 2 ⋅ ( π 6 + 2 π n ) = π 12 + π n ; t = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\right) = \frac{\pi}{12} + \pi n;
е) Минимальные значения: sin ( 2 t + π 3 ) = − 1 ; \sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = -1; 2 t + π 3 = − arcsin 1 + 2 π n = − π 2 + 2 π n ; 2t + \frac{\pi}{3} = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; 2 t = − π 2 − π 3 + 2 π n = − 3 π + 2 π 6 + 2 π n = − 5 π 6 + 2 π n ; 2t = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{3\pi + 2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; t = 1 2 ⋅ ( − 5 π 6 + 2 π n ) = − 5 π 12 + π n
t = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\right) = -\frac{5\pi}{12} + \pi n;
Подробный ответ:
Дано:
Формула зависимости силы переменного тока от времени:
I = A sin ( ω t + φ ) I = A \sin(\omega t + \varphi)
1) A = 2 , ω = 1 , φ = π 4 A = 2, \quad \omega = 1, \quad \varphi = \frac{\pi}{4}
Функция принимает вид:
I = 2 sin ( t + π 4 ) I = 2 \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right)
а) Область определения функции I ( t ) I(t)
Область определения — это множество всех значений t t I ( t ) I(t)
Функция синуса sin x \sin x R \mathbb{R} x ∈ R x \in \mathbb{R} Здесь аргумент синуса — t + π 4 t + \frac{\pi}{4} t t t ∈ R t \in \mathbb{R} Следовательно:
D ( t ) = ( − ∞ ; + ∞ ) D(t) = (-\infty; +\infty)
Однако в условии указано D ( t ) = ( 0 ; + ∞ ) D(t) = (0; +\infty) t t t > 0 t > 0
б) Область значений функции I ( t ) I(t)
Синус принимает значения в промежутке [ − 1 ; 1 ] [-1; 1] − 1 ≤ sin ( t + π 4 ) ≤ 1 -1 \leq \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) \leq 1
Умножая на амплитуду A = 2 A=2 − 2 ≤ 2 sin ( t + π 4 ) ≤ 2 -2 \leq 2 \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) \leq 2
Следовательно, область значений:
E ( I ) = [ − 2 ; 2 ] E(I) = [-2; 2]
в) Период функции I ( t ) I(t)
Период функции — это наименьшее положительное число T T
I ( t + T ) = I ( t ) для всех t I(t + T) = I(t) \quad \text{для всех } t
Для синусоиды с аргументом ω t + φ \omega t + \varphi
T = 2 π ω T = \frac{2\pi}{\omega}
Здесь ω = 1 \omega = 1
T = 2 π 1 = 2 π T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi
Проверим формально:
I ( t + T ) = 2 sin ( t + T + π 4 ) = 2 sin ( t + π 4 ) I(t + T) = 2 \sin \left(t + T + \frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right)
Это равенство верно, если
sin ( t + T + π 4 ) = sin ( t + π 4 ) \sin \left(t + T + \frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right)
Период синуса равен 2 π 2\pi
T = 2 π T = 2\pi
г) Нули функции
Нули функции — это такие значения t t
I ( t ) = 0 I(t) = 0
Подставляем функцию:
2 sin ( t + π 4 ) = 0 ⟹ sin ( t + π 4 ) = 0 2 \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 0 \implies \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 0
Синус равен нулю в точках:
t + π 4 = π n , n ∈ Z t + \frac{\pi}{4} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
Отсюда:
t = − π 4 + π n , n ∈ Z t = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
д) Максимальные значения функции
Максимальные значения достигаются, когда синус равен 1, так как амплитуда положительна.
Ищем t t
I ( t ) = 2 sin ( t + π 4 ) = 2 I(t) = 2 \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 2
То есть
sin ( t + π 4 ) = 1 \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 1
Синус равен 1 в точках:
t + π 4 = π 2 + 2 π n , n ∈ Z t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
Отсюда:
t = π 2 − π 4 + 2 π n = π 4 + 2 π n t = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n
е) Минимальные значения функции
Минимальные значения достигаются, когда синус равен -1.
Ищем t t
sin ( t + π 4 ) = − 1 \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) = -1
Синус равен -1 в точках:
t + π 4 = − π 2 + 2 π n , n ∈ Z t + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
Отсюда:
t = − π 2 − π 4 + 2 π n = − 3 π 4 + 2 π n t = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n
2) A = 1 , ω = 2 , φ = π 3 A = 1, \quad \omega = 2, \quad \varphi = \frac{\pi}{3}
Функция:
I = sin ( 2 t + π 3 ) I = \sin \left(2t + \frac{\pi}{3}\right)
а) Область определения функции I ( t ) I(t)
Как и в предыдущем случае:
D ( t ) = ( 0 ; + ∞ ) D(t) = (0; +\infty)
б) Область значений функции I ( t ) I(t)
− 1 ≤ sin ( 2 t + π 3 ) ≤ 1 -1 \leq \sin \left(2t + \frac{\pi}{3}\right) \leq 1
Т.к. A = 1 A = 1
E ( I ) = [ − 1 ; 1 ] E(I) = [-1; 1]
в) Период функции I ( t ) I(t)
Период синуса с аргументом ω t + φ \omega t + \varphi
T = 2 π ω T = \frac{2\pi}{\omega}
Здесь ω = 2 \omega = 2
T = 2 π 2 = π T = \frac{2\pi}{2} = \pi
г) Нули функции
Нули:
sin ( 2 t + π 3 ) = 0 \sin \left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = 0
Значит:
2 t + π 3 = π n , n ∈ Z 2t + \frac{\pi}{3} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
Отсюда
2 t = − π 3 + π n 2t = -\frac{\pi}{3} + \pi n t = 1 2 ( − π 3 + π n ) = − π 6 + π n 2 t = \frac{1}{2} \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}
д) Максимальные значения функции
Максимум достигается при
sin ( 2 t + π 3 ) = 1 \sin \left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = 1
Откуда
2 t + π 3 = π 2 + 2 π n 2t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
Решаем:
2 t = π 2 − π 3 + 2 π n = 3 π − 2 π 6 + 2 π n = π 6 + 2 π n 2t = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi — 2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n t = 1 2 ( π 6 + 2 π n ) = π 12 + π n t = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\right) = \frac{\pi}{12} + \pi n
е) Минимальные значения функции
Минимум при
sin ( 2 t + π 3 ) = − 1 \sin \left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = -1
Тогда
2 t + π 3 = − π 2 + 2 π n 2t + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n
Решаем:
2 t = − π 2 − π 3 + 2 π n = − 3 π + 2 π 6 + 2 π n = − 5 π 6 + 2 π n 2t = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{3\pi + 2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n t = 1 2 ( − 5 π 6 + 2 π n ) = − 5 π 12 + π n t = \frac{1}{2} \left(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\right) = -\frac{5\pi}{12} + \pi n
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!