ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 731 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции:

1. y = sin|x|;
2. y = |sinx|.

1) $y=\sin \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$

а) Область определения:
$D(x)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty });$

б) Область значений:
$-1\le \sin x\le 1;$
$-1\le \sin \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le 1;$
$E(y)=[-1;1];$

в) Период функции:
$y(x+T)=y(x);$
$\sin \mathrm{\mid }x+T\mathrm{\mid }=\sin \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid };$
$T=2\pi ;$

г) Функция четная:
$y(-x)=\sin \mathrm{\mid }-x\mathrm{\mid }=\sin \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=y(x);$

д) Нули функции:
$\sin \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=0;$
$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\arcsin 0+\pi n=\pi n;$
$x=\pm \pi n=\pi n;$

е) Максимальные значения:
$\sin \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=1;$
$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\arcsin 1+2\pi n=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$
$x=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$

ж) Минимальные значения:
$\sin \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-1;$
$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-\arcsin 1+2\pi n=-\frac{\pi }{2}+2\pi n;$
$x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$

2) $y=\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$

а) Область определения:
$D(x)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty });$

б) Область значений:
$-1\le \sin x\le 1;$
$0\le \mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\le 1;$
$E(y)=[0;1];$

в) Период функции:
$y(x+T)=y(x);$
$\mathrm{\mid }\sin (x+T)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid };$

$$\{\begin{array}{l}\sin (x+T)=\sin x\\ \sin (x+T)=-\sin x\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}T=2\pi \\ \sin (x+T)=\sin (x+\pi )\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}T=2\pi \\ T=\pi \end{array}$$

$T=\pi ;$

г) Функция четная:
$y(-x)=\mathrm{\mid }\sin (-x)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-\sin x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }=y(x);$

д) Нули функции:
$\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }=0;$
$\sin x=0;$
$x=\arcsin 0+\pi n=\pi n;$

е) Максимальные значения:
$\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }=1;$
$\sin x=\pm 1;$
$x_1=\arcsin 1+2\pi n=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$
$x_2=-\arcsin 1+2\pi n=-\frac{\pi }{2}+2\pi n;$
$x=\frac{\pi }{2}+\pi n;$

ж) Минимальные значения:
$x=\pi n$

1) Функция

$y = \sin |x|$

а) Область определения функции

Область определения — это множество всех значений $x$, при которых функция определена.

Функция $y = \sin |x|$ состоит из двух операций:

• Берём модуль $|x|$, который определён для всех $x \in \mathbb{R}$ (все вещественные числа),
• Берём синус от результата — синус определён для всех вещественных чисел.

Следовательно,

$$D(x) = (-\infty; +\infty).$$

б) Область значений функции

Область значений — это множество всех значений $y$, которые может принимать функция.

• Синус принимает значения на промежутке от -1 до 1:

$$-1 \leq \sin x \leq 1.$$

• Модуль $|x|$ всегда неотрицателен, но внутри синуса это не меняет амплитуды:

$$-1 \leq \sin |x| \leq 1.$$

• Значит, область значений функции $y = \sin |x|$ — от -1 до 1:

$$E(y) = [-1; 1].$$

в) Период функции

Функция периодическая, если существует число $T > 0$, для которого

$$y(x + T) = y(x), \quad \forall x.$$

Для $y = \sin |x|$:

$$\sin |x + T| = \sin |x|.$$

Чтобы период сохранялся для модуля аргумента, $|x + T|$ должно вести себя так, чтобы синус оставался тем же.

Период синуса $2\pi$, поэтому:

$$T = 2\pi.$$

г) Чётность функции

Функция называется чётной, если

$$y(-x) = y(x).$$

Проверим:

$$y(-x) = \sin |-x| = \sin |x| = y(x).$$

Значит, функция $y = \sin |x|$ чётная.

д) Нули функции

Нули — значения $x$, при которых $y = 0$.

Решаем уравнение:

$$\sin |x| = 0.$$

Значения синуса равные нулю:

$$\sin t = 0 \Rightarrow t = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Заменяем $t = |x|$:

$$|x| = \pi n.$$

Отсюда:

$$x = \pm \pi n = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

е) Максимальные значения

Максимальное значение синуса — 1:

$$\sin |x| = 1.$$

Решаем:

$$|x| = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Тогда:

$$x = \pm \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right).$$

ж) Минимальные значения

Минимальное значение синуса — -1:

$$\sin |x| = -1.$$

Решаем:

$$|x| = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Но поскольку $|x| \geq 0$, отрицательное значение внутри модуля невозможно, значит нужно уточнить:

• $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$,
• $-\arcsin 1 = -\frac{\pi}{2}$.

Однако, $|x|$ не может быть отрицательным, значит решения с $|x| = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ возможны только при $2\pi n \geq \frac{\pi}{2}$.

Итог:

$$x=\pm (-\frac{\pi }{2}+2\pi n)\mathrm{.}$$

$$x = \pm \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right).$$

2) Функция $y = |\sin x|$

а) Область определения функции

• Синус определён для всех вещественных чисел,
• Модуль синуса — тоже для всех чисел.

Следовательно:

$$D(x) = (-\infty; +\infty).$$

б) Область значений функции

• Синус принимает значения от -1 до 1,
• Модуль всегда неотрицателен, поэтому:

$$0 \leq |\sin x| \leq 1,$$

и

$$E(y) = [0; 1].$$

в) Период функции

Период функции $y = |\sin x|$ — наименьшее $T$, для которого

$$|\sin(x + T)| = |\sin x|.$$

Рассмотрим случаи:

$$\begin{cases} \sin(x + T) = \sin x, \\ \sin(x + T) = -\sin x. \end{cases}$$

Из первого:

$$T = 2\pi.$$

Из второго:

$$\sin(x + T) = \sin(x + \pi) \Rightarrow T = \pi.$$

Наименьший период — $T = \pi$.

г) Чётность функции

Проверим:

$$y(-x) = |\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x| = y(x).$$

Функция чётная.

д) Нули функции

Решаем уравнение:

$$|\sin x| = 0 \Rightarrow \sin x = 0.$$

Корни:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

е) Максимальные значения

Максимум $|\sin x| = 1$ достигается при:

$$\sin x = \pm 1.$$

Корни:

$$x_1 = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,$$ $$x_2 = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Объединённо:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

ж) Минимальные значения

Минимум $|\sin x| = 0$ достигается в нулях синуса:

$$x = \pi n.$$