ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 730 Алимов — Подробные Ответы

Найти множество значений функции у = sin х, если х принадлежит промежутку:

1. [пи/6;пи];
2. [3пи/4;5пи/4].

Дана функция $y = \sin x$;

1. На отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \pi\right]$:

Функция возрастает на отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right]$;

Функция убывает на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$;

$y_{\text{min}} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ или $y_{\text{min}} = \sin \pi = 0$;

$y_{\text{max}} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$;

Ответ: $E(y) = [0; 1]$.

2. На отрезке $\left[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]$ функция монотонно убывает;

$y_{\text{min}} = \sin \frac{5\pi}{4} = \sin \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$y_{\text{max}} = \sin \frac{3\pi}{4} = \sin \left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Ответ: $E(y) = \left[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$.

Дана функция:

$$y = \sin x$$

1) Исследуем функцию на отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \pi\right]$.

Шаг 1. Определяем поведение функции (монотонность).

Функция $\sin x$ — периодическая и непрерывная, с производной

$$y’ = \cos x.$$

Для изучения возрастания и убывания функции нужно найти знак производной на отрезке.

• Рассмотрим производную на $\left[\frac{\pi}{6}; \pi\right]$:

  $$y’ = \cos x.$$

• Значения $\cos x$ на отрезке:
  • При $x = \frac{\pi}{6}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$;
  • При $x = \frac{\pi}{2}$, $\cos \frac{\pi}{2} = 0$;
  • При $x = \pi$, $\cos \pi = -1 < 0$.

Так как $\cos x$ положительна на интервале $\left(\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right)$, функция $y = \sin x$ там возрастает.

На интервале $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ производная отрицательна, значит функция убывает.

Шаг 2. Находим экстремумы на отрезке.

• В точке $x = \frac{\pi}{2}$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в $x = \frac{\pi}{2}$ находится максимум.
• Значения функции в граничных точках отрезка:

  $$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2};$$ $$y(\pi) = \sin \pi = 0;$$ $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1.$$

Шаг 3. Определяем минимальное и максимальное значение функции на отрезке.

• Функция возрастает от $x=\frac{\pi}{6}$ до $x=\frac{\pi}{2}$, поэтому минимум на этом промежутке — значение в начале $\frac{1}{2}$, максимум — в конце $1$.
• Функция убывает от $x=\frac{\pi}{2}$ до $x=\pi$, минимум на этом промежутке — значение в конце $0$, максимум — в начале $1$.

Итого, на всём отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \pi\right]$ функция достигает:

• минимум либо в точке $\frac{\pi}{6}$, где $y = \frac{1}{2}$, либо в точке $\pi$, где $y = 0$. Нужно выбрать меньшее из них — это $0$;
• максимум в точке $\frac{\pi}{2}$, где $y = 1$.

Ответ:

$$E(y) = [0; 1].$$

2) Исследуем функцию на отрезке $\left[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]$.

Шаг 1. Определяем знак производной.

$$y’ = \cos x.$$

Рассмотрим значения на концах отрезка:

• При $x = \frac{3\pi}{4}$,

$$\cos \frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0;$$

• При $x = \frac{5\pi}{4}$,

$$\cos \frac{5\pi}{4} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0.$$

Производная отрицательна на всём отрезке, следовательно, функция монотонно убывает на $\left[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]$.

Шаг 2. Значения функции на концах отрезка.

• В точке $x = \frac{3\pi}{4}$:

$$y = \sin \frac{3\pi}{4} = \sin \left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

• В точке $x = \frac{5\pi}{4}$:

$$y = \sin \frac{5\pi}{4} = \sin \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 3. Определяем минимум и максимум на отрезке.

Поскольку функция убывает, максимум будет в начале отрезка, минимум — в конце:

$$y_{\max} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad y_{\min} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ:

$$E(y) = \left[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right].$$