ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 729 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции и выяснить её свойства:

1. у = 1 — sin х;
2. у = 2 + sin х;
3. у = sin Зх;
4. у = 2 sin х.

$y = 1 — \sin x$;

а) Область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty);$$

б) Область значений:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-1 \leq -\sin x \leq 1;$$ $$0 \leq 1 — \sin x \leq 2;$$ $$E(y) = [0; 2];$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$1 — \sin (x + T) = 1 — \sin x;$$ $$T = 2\pi;$$

г) Функция ни четная, ни нечетная:

$$y(-x) = 1 — \sin(-x) = 1 + \sin x;$$

д) Нули функции:

$$1 — \sin x = 0;$$ $$\sin x = 1;$$ $$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

е) Максимальные значения:

$$1 — \sin x = 2;$$ $$\sin x = 1 — 2;$$ $$\sin x = -1;$$ $$x = \arcsin(-1) + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

ж) Минимальные значения:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

з) Свойства функции:
Возрастает при

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

Убывает при

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Положительна при

$$x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

$y = 2 + \sin x$;

а) Область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty);$$

б) Область значений:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$1 \leq 2 + \sin x \leq 3;$$ $$E(y) = [1; 3];$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$2 + \sin (x + T) = 2 + \sin x;$$ $$T = 2\pi;$$

г) Функция ни четная, ни нечетная:

$$y(-x) = 2 + \sin(-x) = 2 — \sin x;$$

д) Нули функции:

$$2 + \sin x = 0 \quad — \text{нет корней};$$

е) Максимальные значения:

$$2 + \sin x = 3;$$ $$\sin x = 1;$$ $$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

ж) Минимальные значения:

$$2 + \sin x = 1;$$ $$\sin x = -1;$$ $$x = \arcsin (-1) + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

з) Свойства функции:
Возрастает при

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Убывает при

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

Положительна при

$$x \in \mathbb{R};$$

$y = \sin 3x$;

а) Область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty);$$

б) Область значений:

$$-1 \leq \sin 3x \leq 1;$$ $$E(y) = [-1; 1];$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$\sin(3(x + T)) = \sin 3x;$$ $$\sin(3x + 3T) = \sin 3x;$$ $$3T = 2\pi;$$ $$T = \frac{2\pi}{3};$$

г) Функция нечетная:

$$y(-x) = \sin(-3x) = -\sin 3x = -y(x);$$

д) Нули функции:

$$\sin 3x = 0;$$ $$3x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{3};$$

е) Максимальные значения:

$$\sin 3x = 1;$$ $$3x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$$

ж) Минимальные значения:

$$\sin 3x = -1;$$ $$3x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$$

з) Свойства функции:
Возрастает при

$$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$$

Убывает при

$$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3};$$

Положительна при

$$\frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3};$$

Отрицательна при

$$\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3};$$

$y = 2 \sin x$;

а) Область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty);$$

б) Область значений:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-2 \leq 2 \sin x \leq 2;$$ $$E(y) = [-2; 2];$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$2 \sin (x + T) = 2 \sin x;$$ $$T = 2\pi;$$

г) Функция нечетная:

$$y(-x) = 2 \sin(-x) = -2 \sin x = -y(x);$$

д) Нули функции:

$$2 \sin x = 0;$$ $$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

е) Максимальные значения:

$$2 \sin x = 2;$$ $$\sin x = 1;$$ $$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

ж) Минимальные значения:

$$2 \sin x = -2;$$ $$\sin x = -1;$$ $$x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

з) Свойства функции:
Возрастает при

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Убывает при

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

Положительна при

$$2\pi n < x < \pi + 2\pi n;$$

Отрицательна при

$$-\pi +\pi n<x<2\pi n$$

$$-\pi + \pi n < x < 2\pi n;$$

1) $y = 1 — \sin x$

а) Область определения:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$
Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$, так как синус определён на всей числовой оси.

б) Область значений:

$-1 \leq \sin x \leq 1$

Тогда

$$-1 \leq \sin x \leq 1 \implies -1 \leq -\sin x \leq 1 \implies 0 \leq 1 — \sin x \leq 2$$

Значит,

$$E(y) = [0; 2]$$

в) Период функции:

Функция периодична с периодом $T$, если

$$y(x + T) = y(x)$$

Подставим:

$$1 — \sin(x + T) = 1 — \sin x \implies \sin(x + T) = \sin x$$

Период функции $\sin x$ равен $2\pi$, значит:

$$T = 2\pi$$

г) Чётность функции:

Проверим $y(-x)$:

$$y(-x) = 1 — \sin(-x) = 1 + \sin x \neq \pm y(x)$$

Функция ни чётная, ни нечётная.

д) Нули функции:

Найдем $x$ при которых

$$1 — \sin x = 0 \implies \sin x = 1$$

Решения:

$$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

е) Максимальные значения функции:

Максимум при:

$$1 — \sin x = 2 \implies \sin x = -1$$

Решения:

$$x = \arcsin (-1) + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

(учитывая периодичность, $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ совпадают по значению функции)

ж) Минимальные значения функции:

Минимум при

$$1 — \sin x = 0 \implies \sin x = 1$$

Решения:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

з) Свойства функции:

• Возрастает при

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

• Убывает при

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

• Положительна при

$$x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

2) $y = 2 + \sin x$

а) Область определения:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Область значений:

$$-1 \leq \sin x \leq 1 \implies 1 \leq 2 + \sin x \leq 3$$ $$E(y) = [1; 3]$$

в) Период функции:

Период $T = 2\pi$ (период синуса)

г) Чётность функции:

$$y(-x) = 2 + \sin(-x) = 2 — \sin x \neq \pm y(x)$$

Функция ни чётная, ни нечётная.

д) Нули функции:

Решаем

$$2 + \sin x = 0 \implies \sin x = -2$$

Корней нет, так как синус не может принимать значения вне [-1,1].

е) Максимальные значения:

$$2 + \sin x = 3 \implies \sin x = 1$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

ж) Минимальные значения:

$$2 + \sin x = 1 \implies \sin x = -1$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

з) Свойства функции:

• Возрастает при

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

• Убывает при

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

• Положительна при всех $x \in \mathbb{R}$

3) $y = \sin 3x$

а) Область определения:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Область значений:

$$-1 \leq \sin 3x \leq 1$$ $$E(y) = [-1; 1]$$

в) Период функции:

Имеем

$$y(x + T) = y(x)$$

Тогда

$$\sin(3(x + T)) = \sin 3x \implies 3T = 2\pi \implies T = \frac{2\pi}{3}$$

г) Чётность функции:

Функция нечётная, так как

$$y(-x) = \sin(-3x) = -\sin 3x = -y(x)$$

д) Нули функции:

$$\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}$$

е) Максимальные значения:

$$\sin 3x = 1 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

ж) Минимальные значения:

$$\sin 3x = -1 \implies 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

з) Свойства функции:

• Возрастает при

$$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

• Убывает при

$$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$$

• Положительна при

$$\frac{2\pi n}{3} < x < \frac{4\pi n}{3}$$

• Отрицательна при

$$\frac{4\pi n}{3} < x < \frac{2\pi (n+1)}{3}$$

4) $y = 2 \sin x$

а) Область определения:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Область значений:

$$-1 \leq \sin x \leq 1 \implies -2 \leq 2\sin x \leq 2$$ $$E(y) = [-2; 2]$$

в) Период функции:

Период $T = 2\pi$

г) Чётность функции:

Нечётная, так как

$$y(-x) = 2 \sin (-x) = -2 \sin x = -y(x)$$

д) Нули функции:

$$2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$$ $$x = \pi n$$

е) Максимальные значения:

$$2 \sin x = 2 \implies \sin x = 1$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

ж) Минимальные значения:

$$2 \sin x = -2 \implies \sin x = -1$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

з) Свойства функции:

• Возрастает при

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

• Убывает при

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

• Положительна при

$$2\pi n < x < \pi + 2\pi n$$

• Отрицательна при

$$\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n$$