ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 729 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Построить график функции и выяснить её свойства:

у = 1 — sin х;
у = 2 + sin х;
у = sin Зх;
у = 2 sin х.

Краткий ответ:

$y = 1 — \sin x$ ;

а) Область определения:

$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Область значений:

$-1 \leq \sin x \leq 1;$ $-1 \leq -\sin x \leq 1;$ $0 \leq 1 — \sin x \leq 2;$ $E(y) = [0; 2];$

в) Период функции:

$y(x + T) = y(x);$ $1 — \sin (x + T) = 1 — \sin x;$ $T = 2\pi;$

г) Функция ни четная, ни нечетная:

$y(-x) = 1 — \sin(-x) = 1 + \sin x;$

д) Нули функции:

$1 — \sin x = 0;$ $\sin x = 1;$ $x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

е) Максимальные значения:

$1 — \sin x = 2;$ $\sin x = 1 — 2;$ $\sin x = -1;$ $x = \arcsin(-1) + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$

ж) Минимальные значения:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

з) Свойства функции:
Возрастает при

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$

Убывает при

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Положительна при

$x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

$y = 2 + \sin x$ ;

а) Область определения:

$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Область значений:

$-1 \leq \sin x \leq 1;$ $1 \leq 2 + \sin x \leq 3;$ $E(y) = [1; 3];$

в) Период функции:

$y(x + T) = y(x);$ $2 + \sin (x + T) = 2 + \sin x;$ $T = 2\pi;$

г) Функция ни четная, ни нечетная:

$y(-x) = 2 + \sin(-x) = 2 — \sin x;$

д) Нули функции:

$2 + \sin x = 0 \quad — \text{нет корней};$

е) Максимальные значения:

$2 + \sin x = 3;$ $\sin x = 1;$ $x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

ж) Минимальные значения:

$2 + \sin x = 1;$ $\sin x = -1;$ $x = \arcsin (-1) + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$

з) Свойства функции:
Возрастает при

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Убывает при

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$

Положительна при

$x \in \mathbb{R};$

$y = \sin 3x$ ;

а) Область определения:

$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Область значений:

$-1 \leq \sin 3x \leq 1;$ $E(y) = [-1; 1];$

в) Период функции:

$y(x + T) = y(x);$ $\sin(3(x + T)) = \sin 3x;$ $\sin(3x + 3T) = \sin 3x;$ $3T = 2\pi;$ $T = \frac{2\pi}{3};$

г) Функция нечетная:

$y(-x) = \sin(-3x) = -\sin 3x = -y(x);$

д) Нули функции:

$\sin 3x = 0;$ $3x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$ $x = \frac{\pi n}{3};$

е) Максимальные значения:

$\sin 3x = 1;$ $3x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$ $x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$

ж) Минимальные значения:

$\sin 3x = -1;$ $3x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$ $x = \frac{1}{3} \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$

з) Свойства функции:
Возрастает при

$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$

Убывает при

$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3};$

Положительна при

$\frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3};$

Отрицательна при

$\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3};$

$y = 2 \sin x$ ;

а) Область определения:

$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Область значений:

$-1 \leq \sin x \leq 1;$ $-2 \leq 2 \sin x \leq 2;$ $E(y) = [-2; 2];$

в) Период функции:

$y(x + T) = y(x);$ $2 \sin (x + T) = 2 \sin x;$ $T = 2\pi;$

г) Функция нечетная:

$y(-x) = 2 \sin(-x) = -2 \sin x = -y(x);$

д) Нули функции:

$2 \sin x = 0;$ $\sin x = 0;$ $x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$

е) Максимальные значения:

$2 \sin x = 2;$ $\sin x = 1;$ $x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

ж) Минимальные значения:

$2 \sin x = -2;$ $\sin x = -1;$ $x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

з) Свойства функции:
Возрастает при

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Убывает при

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$

Положительна при

$2\pi n < x < \pi + 2\pi n;$

Отрицательна при

$- π + π n < x < 2 π n$

$-\pi + \pi n < x < 2\pi n;$

Подробный ответ:

1) $y = 1 — \sin x$

а) Область определения:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$
Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$ , так как синус определён на всей числовой оси.

б) Область значений:

$-1 \leq \sin x \leq 1$

Тогда

$-1 \leq \sin x \leq 1 \implies -1 \leq -\sin x \leq 1 \implies 0 \leq 1 — \sin x \leq 2$

Значит,

$E(y) = [0; 2]$

в) Период функции:

Функция периодична с периодом $T$ , если

$y(x + T) = y(x)$

Подставим:

$1 — \sin(x + T) = 1 — \sin x \implies \sin(x + T) = \sin x$

Период функции $\sin x$ равен $2\pi$ , значит:

$T = 2\pi$

г) Чётность функции:

Проверим $y(-x)$ :

$y(-x) = 1 — \sin(-x) = 1 + \sin x \neq \pm y(x)$

Функция ни чётная, ни нечётная.

д) Нули функции:

Найдем $x$ при которых

$1 — \sin x = 0 \implies \sin x = 1$

Решения:

$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

е) Максимальные значения функции:

Максимум при:

$1 — \sin x = 2 \implies \sin x = -1$

Решения:

$x = \arcsin (-1) + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$

(учитывая периодичность, $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ совпадают по значению функции)

ж) Минимальные значения функции:

Минимум при

$1 — \sin x = 0 \implies \sin x = 1$

Решения:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

з) Свойства функции:

Возрастает при

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$

Убывает при

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Положительна при

$x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

2) $y = 2 + \sin x$

а) Область определения:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Область значений:

$-1 \leq \sin x \leq 1 \implies 1 \leq 2 + \sin x \leq 3$ $E(y) = [1; 3]$

в) Период функции:

Период $T = 2\pi$ (период синуса)

г) Чётность функции:

$y(-x) = 2 + \sin(-x) = 2 — \sin x \neq \pm y(x)$

Функция ни чётная, ни нечётная.

д) Нули функции:

Решаем

$2 + \sin x = 0 \implies \sin x = -2$

Корней нет, так как синус не может принимать значения вне [-1,1].

е) Максимальные значения:

$2 + \sin x = 3 \implies \sin x = 1$ $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

ж) Минимальные значения:

$2 + \sin x = 1 \implies \sin x = -1$ $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$

з) Свойства функции:

Возрастает при

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Убывает при

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$

Положительна при всех $x \in \mathbb{R}$

3) $y = \sin 3x$

а) Область определения:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Область значений:

$-1 \leq \sin 3x \leq 1$ $E(y) = [-1; 1]$

в) Период функции:

Имеем

$y(x + T) = y(x)$

Тогда

$\sin(3(x + T)) = \sin 3x \implies 3T = 2\pi \implies T = \frac{2\pi}{3}$

г) Чётность функции:

Функция нечётная, так как

$y(-x) = \sin(-3x) = -\sin 3x = -y(x)$

д) Нули функции:

$\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}$

е) Максимальные значения:

$\sin 3x = 1 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

ж) Минимальные значения:

$\sin 3x = -1 \implies 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

з) Свойства функции:

Возрастает при

$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

Убывает при

$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$

Положительна при

$\frac{2\pi n}{3} < x < \frac{4\pi n}{3}$

Отрицательна при

$\frac{4\pi n}{3} < x < \frac{2\pi (n+1)}{3}$

4) $y = 2 \sin x$

а) Область определения:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Область значений:

$-1 \leq \sin x \leq 1 \implies -2 \leq 2\sin x \leq 2$ $E(y) = [-2; 2]$

в) Период функции:

Период $T = 2\pi$

г) Чётность функции:

Нечётная, так как

$y(-x) = 2 \sin (-x) = -2 \sin x = -y(x)$

д) Нули функции:

$2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$ $x = \pi n$

е) Максимальные значения:

$2 \sin x = 2 \implies \sin x = 1$ $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

ж) Минимальные значения:

$2 \sin x = -2 \implies \sin x = -1$ $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$

з) Свойства функции:

Возрастает при

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Убывает при

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$

Положительна при

$2\pi n < x < \pi + 2\pi n$

Отрицательна при

$\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра