ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 728 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-3пи/2;пи]:

sin2x > =-1/2;
sin3x < корень 3/2.

Краткий ответ:

Требуется найти решения неравенства на отрезке $[- \frac{3 π}{2}; π]$ :

$1. sin 2 x \geq - \frac{1}{2}$ ;

$\arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 π n \leq 2 x \leq π - \arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 π n;$ $- \arcsin \frac{1}{2} + 2 π n \leq 2 x \leq π + \arcsin \frac{1}{2} + 2 π n;$ $- \frac{π}{6} + 2 π n \leq 2 x \leq π + \frac{π}{6} + 2 π n;$ $- \frac{π}{6} + 2 π n \leq 2 x \leq \frac{7 π}{6} + 2 π n;$ $- \frac{π}{12} + π n \leq x \leq \frac{7 π}{12} + π n;$

Значения на искомом отрезке:

$- \frac{3 π}{2} \leq x_{1} \leq - \frac{17 π}{12};$ $- \frac{13 π}{12} \leq x_{2} \leq - \frac{5 π}{12};$ $- \frac{π}{12} \leq x_{3} \leq \frac{7 π}{12};$ $\frac{11 π}{12} \leq x_{4} \leq π;$

$2. sin 3 x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

$- π - \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 π n < 3 x < \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 π n;$ $- π - \frac{π}{3} + 2 π n < 3 x < \frac{π}{3} + 2 π n;$ $- \frac{4 π}{3} + 2 π n < 3 x < \frac{π}{3} + 2 π n;$ $- \frac{4 π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3};$

Значения на искомом отрезке:

$- \frac{3 π}{2} \leq x_{1} < - \frac{11 π}{9};$ $- \frac{10 π}{9} < x_{2} < - \frac{5 π}{9};$ $- \frac{4 π}{9} < x_{3} < \frac{π}{9};$ $\frac{2 π}{9} < x_{4} < \frac{7 π}{9};$ $\frac{8 π}{9} < x_{5} \leq π$

Подробный ответ:

Нужно решить неравенства на отрезке $[- \frac{3 π}{2}; π]$ :

1) Неравенство: $\sin 2 x \geq - \frac{1}{2}$

Шаг 1: Определение основного неравенства

Имеется тригонометрическое неравенство с функцией $\sin 2 x$ :

$\sin 2 x \geq - \frac{1}{2} .$

Мы хотим найти все значения $x$ , для которых это верно, причем $x$ лежит в интервале $[- \frac{3 π}{2}; π]$ .

Шаг 2: Перевод неравенства к более удобному виду

Рассмотрим выражение $\sin 2 x = y$ . Чтобы решить неравенство, вспомним, что для функции $\sin t$ , где $t = 2 x$ , решения неравенств связаны с обратной функцией $\arcsin$ .

Шаг 3: Найдем границы для $t = 2 x$

Имеется:

$\sin t \geq - \frac{1}{2} .$

Обозначим:

$a = - \frac{1}{2} .$

Известно, что:

$\arcsin a = \arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6},$

потому что $\sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ .

Шаг 4: Общий вид решения $\sin t \geq a$

Функция $\sin t$ на интервале $[- π / 2, π / 2]$ возрастает от $- 1$ до $1$ .

Для неравенства $\sin t \geq a$ с $a \in [- 1, 1]$ решения в общем виде:

$t \in [\arcsin a + 2 π n; π - \arcsin a + 2 π n], n \in Z .$

Подставим $a = - \frac{1}{2}$ :

$t \in [- \frac{π}{6} + 2 π n; π + \frac{π}{6} + 2 π n] .$

Шаг 5: Замена $t = 2 x$

Подставим обратно $t = 2 x$ :

$2 x \in [- \frac{π}{6} + 2 π n; \frac{7 π}{6} + 2 π n] .$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x \in [- \frac{π}{12} + π n; \frac{7 π}{12} + π n], n \in Z .$

Шаг 6: Подбор значений $n$ , чтобы решения попали на заданный отрезок

Напомним, отрезок:

$x \in [- \frac{3 π}{2}; π] .$

Подставим $n = - 1, 0, 1$ (больше не нужно, т.к. значения выйдут за пределы).

При $n = - 1$ :

$x \in [- \frac{π}{12} - π; \frac{7 π}{12} - π] = [- \frac{13 π}{12}; - \frac{5 π}{12}] .$

При $n = 0$ :

$x \in [- \frac{π}{12}; \frac{7 π}{12}] .$

При $n = 1$ :

$x \in [- \frac{π}{12} + π; \frac{7 π}{12} + π] = [\frac{11 π}{12}; \frac{19 π}{12}] .$

Но верхняя граница $\frac{19 π}{12} > π$ , значит ограничиваемся $\frac{11 π}{12} \leq x \leq π$ .

При $n = - 2$ :

$x \in [- \frac{π}{12} - 2 π; \frac{7 π}{12} - 2 π] \approx [- \frac{25 π}{12}; - \frac{17 π}{12}],$

что выходит за левую границу $- \frac{3 π}{2} = - \frac{18 π}{12}$ . Однако, можно проверить интервал $[- \frac{3 π}{2}; - \frac{17 π}{12}]$ , это часть решений.

Шаг 7: Итоговые интервалы решения на отрезке $[- \frac{3 π}{2}; π]$ :

$[- \frac{3 π}{2}; - \frac{17 π}{12}], [- \frac{13 π}{12}; - \frac{5 π}{12}], [- \frac{π}{12}; \frac{7 π}{12}], [\frac{11 π}{12}; π] .$

2) Неравенство: $\sin 3 x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Определение неравенства

$\sin 3 x < \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Шаг 2: Обратная функция и ее значение

$a = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Известно:

$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{3} .$

Шаг 3: Общий вид решения $\sin t < a$

Для $\sin t < a$ , где $a \in (- 1, 1)$ , решение в пределах периода будет:

$t \in (- π - \arcsin a + 2 π n, \arcsin a + 2 π n), n \in Z .$

Подставим:

$t \in (- π - \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n) .$

Шаг 4: Замена $t = 3 x$

Подставим $t = 3 x$ :

$3 x \in (- \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n) .$

Разделим обе части на 3:

$x \in (- \frac{4 π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}) .$

Шаг 5: Подбор $n$ на заданном отрезке $[- \frac{3 π}{2}; π]$

Подставим разные значения $n$ :

$n = - 2$ :

$x \in (- \frac{4 π}{9} - \frac{4 π}{3}, \frac{π}{9} - \frac{4 π}{3}) = (- \frac{4 π}{9} - \frac{12 π}{9}, \frac{π}{9} - \frac{12 π}{9}) = (- \frac{16 π}{9}, - \frac{11 π}{9}) .$

Отрезок задан с левой границей $- \frac{3 π}{2} = - \frac{27 π}{18} = - \frac{3 π}{2} \approx - 4.712$ .

$- \frac{16 π}{9} \approx - 5.585$ меньше левой границы, значит решение частично входит в отрезок начиная с $- \frac{3 π}{2}$ .

Таким образом, первый интервал:

$[- \frac{3 π}{2}, - \frac{11 π}{9}) .$

$n = - 1$ :

$x \in (- \frac{4 π}{9} - \frac{2 π}{3}, \frac{π}{9} - \frac{2 π}{3}) = (- \frac{4 π}{9} - \frac{6 π}{9}, \frac{π}{9} - \frac{6 π}{9}) = (- \frac{10 π}{9}, - \frac{5 π}{9}) .$

$n = 0$ :

$x \in (- \frac{4 π}{9}, \frac{π}{9}) .$

$n = 1$ :

$x \in (- \frac{4 π}{9} + \frac{2 π}{3}, \frac{π}{9} + \frac{2 π}{3}) = (- \frac{4 π}{9} + \frac{6 π}{9}, \frac{π}{9} + \frac{6 π}{9}) = (\frac{2 π}{9}, \frac{7 π}{9}) .$

$n = 2$ :

$x \in (- \frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3}, \frac{π}{9} + \frac{4 π}{3}) = (- \frac{4 π}{9} + \frac{12 π}{9}, \frac{π}{9} + \frac{12 π}{9}) = (\frac{8 π}{9}, \frac{13 π}{9}) .$

Но верхняя граница отрезка $π = \frac{9 π}{9}$ , значит ограничиваем:

$(\frac{8 π}{9}, π] .$

Шаг 6: Итоговые интервалы решения на отрезке $[- \frac{3 π}{2}; π]$ :

$[- \frac{3 π}{2}, - \frac{11 π}{9}), (- \frac{10 π}{9}, - \frac{5 π}{9}), (- \frac{4 π}{9}, \frac{π}{9}), (\frac{2 π}{9}, \frac{7 π}{9}), (\frac{8 π}{9}, π] .$

Решения неравенств на заданном отрезке:

1. Для $\sin 2 x \geq - \frac{1}{2}$ :

${\begin{cases} - \frac{3 π}{2} \leq x \leq - \frac{17 π}{12}; \\ - \frac{13 π}{12} \leq x \leq - \frac{5 π}{12}; \\ - \frac{π}{12} \leq x \leq \frac{7 π}{12}; \\ \frac{11 π}{12} \leq x \leq π . \end{cases}$

2. Для $\sin 3 x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ :

${\begin{cases} - \frac{3 π}{2} \leq x < - \frac{11 π}{9}; \\ - \frac{10 π}{9} < x < - \frac{5 π}{9}; \\ - \frac{4 π}{9} < x < \frac{π}{9}; \\ \frac{2 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}; \\ \frac{8 π}{9} < x \leq π . \end{cases}$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра