ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 728 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-3пи/2;пи]:

1. sin2x > =-1/2;
2. sin3x < корень 3/2.

Требуется найти решения неравенства на отрезке $[-\frac{3\pi }{2};\pi ]$:

$\mathrm{1.\; sin}2x\ge -\frac{1}{2}$;

$$\arcsin (-\frac{1}{2})+2\pi n\le 2x\le \pi -\arcsin (-\frac{1}{2})+2\pi n;$$$$-\arcsin \frac{1}{2}+2\pi n\le 2x\le \pi +\arcsin \frac{1}{2}+2\pi n;$$$$-\frac{\pi }{6}+2\pi n\le 2x\le \pi +\frac{\pi }{6}+2\pi n;$$$$-\frac{\pi }{6}+2\pi n\le 2x\le \frac{7\pi }{6}+2\pi n;$$$$-\frac{\pi }{12}+\pi n\le x\le \frac{7\pi }{12}+\pi n;$$

Значения на искомом отрезке:

$$-\frac{3\pi }{2}\le x_1\le -\frac{17\pi }{12};$$$$-\frac{13\pi }{12}\le x_2\le -\frac{5\pi }{12};$$$$-\frac{\pi }{12}\le x_3\le \frac{7\pi }{12};$$$$\frac{11\pi }{12}\le x_4\le \pi ;$$

$\mathrm{2.\; sin}3x<\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$-\pi -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n<3x<\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n;$$$$-\pi -\frac{\pi }{3}+2\pi n<3x<\frac{\pi }{3}+2\pi n;$$$$-\frac{4\pi }{3}+2\pi n<3x<\frac{\pi }{3}+2\pi n;$$$$-\frac{4\pi }{9}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi }{9}+\frac{2\pi n}{3};$$

Значения на искомом отрезке:

$$-\frac{3\pi }{2}\le x_1<-\frac{11\pi }{9};$$$$-\frac{10\pi }{9}<x_2<-\frac{5\pi }{9};$$$$-\frac{4\pi }{9}<x_3<\frac{\pi }{9};$$$$\frac{2\pi }{9}<x_4<\frac{7\pi }{9};$$$$\frac{8\pi }{9}<x_5\le \pi$$

Нужно решить неравенства на отрезке $[-\frac{3\pi }{2};\pi ]$:

1) Неравенство: $\sin 2x\ge -\frac{1}{2}$

Шаг 1: Определение основного неравенства

Имеется тригонометрическое неравенство с функцией $\sin 2x$:

$$\sin 2x\ge -\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Мы хотим найти все значения $x$, для которых это верно, причем $x$ лежит в интервале $[-\frac{3\pi }{2};\pi ]$.

Шаг 2: Перевод неравенства к более удобному виду

Рассмотрим выражение $\sin 2x=y$. Чтобы решить неравенство, вспомним, что для функции $\sin t$, где $t=2x$, решения неравенств связаны с обратной функцией $\arcsin$.

Шаг 3: Найдем границы для $t=2x$

Имеется:

$$\sin t\ge -\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Обозначим:

$$a=-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Известно, что:

$$\arcsin a=\arcsin (-\frac{1}{2})=-\frac{\pi }{6},$$

потому что $\sin (-\frac{\pi }{6})=-\frac{1}{2}$.

Шаг 4: Общий вид решения $\sin t\ge a$

Функция $\sin t$ на интервале $[-\pi \mathrm{/}2,\pi \mathrm{/}2]$ возрастает от $-1$ до $1$.

Для неравенства $\sin t\ge a$ с $a\in [-1,1]$ решения в общем виде:

$$t\in [\arcsin a+2\pi n;\pi -\arcsin a+2\pi n],n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Подставим $a=-\frac{1}{2}$:

$$t\in [-\frac{\pi }{6}+2\pi n;\pi +\frac{\pi }{6}+2\pi n]\mathrm{.}$$

Шаг 5: Замена $t=2x$

Подставим обратно $t=2x$:

$$2x\in [-\frac{\pi }{6}+2\pi n;\frac{7\pi }{6}+2\pi n]\mathrm{.}$$

Разделим обе части неравенства на 2:

$$x\in [-\frac{\pi }{12}+\pi n;\frac{7\pi }{12}+\pi n],n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Шаг 6: Подбор значений $n$, чтобы решения попали на заданный отрезок

Напомним, отрезок:

$$x\in [-\frac{3\pi }{2};\pi ]\mathrm{.}$$

Подставим $n=-1,0,1$ (больше не нужно, т.к. значения выйдут за пределы).

• При $n=-1$:

$$x\in [-\frac{\pi }{12}-\pi ;\frac{7\pi }{12}-\pi ]=[-\frac{13\pi }{12};-\frac{5\pi }{12}]\mathrm{.}$$

• При $n=0$:

$$x\in [-\frac{\pi }{12};\frac{7\pi }{12}]\mathrm{.}$$

• При $n=1$:

$$x\in [-\frac{\pi }{12}+\pi ;\frac{7\pi }{12}+\pi ]=[\frac{11\pi }{12};\frac{19\pi }{12}]\mathrm{.}$$

Но верхняя граница $\frac{19\pi }{12}>\pi$, значит ограничиваемся $\frac{11\pi }{12}\le x\le \pi$.

• При $n=-2$:

$$x\in [-\frac{\pi }{12}-2\pi ;\frac{7\pi }{12}-2\pi ]\approx [-\frac{25\pi }{12};-\frac{17\pi }{12}],$$

что выходит за левую границу $-\frac{3\pi }{2}=-\frac{18\pi }{12}$. Однако, можно проверить интервал $[-\frac{3\pi }{2};-\frac{17\pi }{12}]$, это часть решений.

Шаг 7: Итоговые интервалы решения на отрезке $[-\frac{3\pi }{2};\pi ]$:

$$[-\frac{3\pi }{2};-\frac{17\pi }{12}],[-\frac{13\pi }{12};-\frac{5\pi }{12}],[-\frac{\pi }{12};\frac{7\pi }{12}],[\frac{11\pi }{12};\pi ]\mathrm{.}$$

2) Неравенство: $\sin 3x<\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Определение неравенства

$$\sin 3x<\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Обратная функция и ее значение

$$a=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Известно:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Общий вид решения $\sin t<a$

Для $\sin t<a$, где $a\in (-1,1)$, решение в пределах периода будет:

$$t\in (-\pi -\arcsin a+2\pi n,\arcsin a+2\pi n),n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Подставим:

$$t\in (-\pi -\frac{\pi }{3}+2\pi n,\frac{\pi }{3}+2\pi n)\mathrm{.}$$

Шаг 4: Замена $t=3x$

Подставим $t=3x$:

$$3x\in (-\frac{4\pi }{3}+2\pi n,\frac{\pi }{3}+2\pi n)\mathrm{.}$$

Разделим обе части на 3:

$$x\in (-\frac{4\pi }{9}+\frac{2\pi n}{3},\frac{\pi }{9}+\frac{2\pi n}{3})\mathrm{.}$$

Шаг 5: Подбор $n$ на заданном отрезке $[-\frac{3\pi }{2};\pi ]$

Подставим разные значения $n$:

• $n=-2$:

$$x\in (-\frac{4\pi }{9}-\frac{4\pi }{3},\frac{\pi }{9}-\frac{4\pi }{3})=(-\frac{4\pi }{9}-\frac{12\pi }{9},\frac{\pi }{9}-\frac{12\pi }{9})=(-\frac{16\pi }{9},-\frac{11\pi }{9})\mathrm{.}$$

Отрезок задан с левой границей $-\frac{3\pi }{2}=-\frac{27\pi }{18}=-\frac{3\pi }{2}\approx -4.712$.

$-\frac{16\pi }{9}\approx -5.585$ меньше левой границы, значит решение частично входит в отрезок начиная с $-\frac{3\pi }{2}$.

Таким образом, первый интервал:

$$[-\frac{3\pi }{2},-\frac{11\pi }{9})\mathrm{.}$$

• $n=-1$:

$$x\in (-\frac{4\pi }{9}-\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{9}-\frac{2\pi }{3})=(-\frac{4\pi }{9}-\frac{6\pi }{9},\frac{\pi }{9}-\frac{6\pi }{9})=(-\frac{10\pi }{9},-\frac{5\pi }{9})\mathrm{.}$$

• $n=0$:

$$x\in (-\frac{4\pi }{9},\frac{\pi }{9})\mathrm{.}$$

• $n=1$:

$$x\in (-\frac{4\pi }{9}+\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{9}+\frac{2\pi }{3})=(-\frac{4\pi }{9}+\frac{6\pi }{9},\frac{\pi }{9}+\frac{6\pi }{9})=(\frac{2\pi }{9},\frac{7\pi }{9})\mathrm{.}$$

• $n=2$:

$$x\in (-\frac{4\pi }{9}+\frac{4\pi }{3},\frac{\pi }{9}+\frac{4\pi }{3})=(-\frac{4\pi }{9}+\frac{12\pi }{9},\frac{\pi }{9}+\frac{12\pi }{9})=(\frac{8\pi }{9},\frac{13\pi }{9})\mathrm{.}$$

Но верхняя граница отрезка $\pi =\frac{9\pi }{9}$, значит ограничиваем:

$$(\frac{8\pi }{9},\pi ]\mathrm{.}$$

Шаг 6: Итоговые интервалы решения на отрезке $[-\frac{3\pi }{2};\pi ]$:

$$[-\frac{3\pi }{2},-\frac{11\pi }{9}),(-\frac{10\pi }{9},-\frac{5\pi }{9}),(-\frac{4\pi }{9},\frac{\pi }{9}),(\frac{2\pi }{9},\frac{7\pi }{9}),(\frac{8\pi }{9},\pi ]\mathrm{.}$$

Решения неравенств на заданном отрезке:

1. Для $\sin 2x\ge -\frac{1}{2}$:

$$\boxed{{\displaystyle \{\begin{array}{l}-\frac{3\pi }{2}\le x\le -\frac{17\pi }{12};\\ -\frac{13\pi }{12}\le x\le -\frac{5\pi }{12};\\ -\frac{\pi }{12}\le x\le \frac{7\pi }{12};\\ \frac{11\pi }{12}\le x\le \pi \mathrm{.}\end{array}}}$$

2. Для $\sin 3x<\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\boxed{{\displaystyle \{\begin{array}{l}-\frac{3\pi }{2}\le x<-\frac{11\pi }{9};\\ -\frac{10\pi }{9}<x<-\frac{5\pi }{9};\\ -\frac{4\pi }{9}<x<\frac{\pi }{9};\\ \frac{2\pi }{9}<x<\frac{7\pi }{9};\\ \frac{8\pi }{9}<x\le \pi \mathrm{.}\end{array}}}$$