ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 727 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-3пи/2;пи]:

1. sin2x=-1/2;
2. sin3x= корень 3/2.

Требуется найти корни уравнения на отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]$:

$\sin 2x = -\frac{1}{2}$;

$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \cdot \left((-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$;

Значения на искомом отрезке:

$x_1 = \frac{\pi}{12} — \frac{3\pi}{2} = -\frac{17\pi}{12}$;

$x_2 = -\frac{\pi}{12} — \pi = -\frac{13\pi}{12}$;

$x_3 = \frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{12}$;

$x_4 = -\frac{\pi}{12}$;

$x_5 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{12}$;

$x_6 = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}$;

$\sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$3x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$;

$x = \frac{1}{3} \cdot \left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n\right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$;

Значения на искомом отрезке:

$x_1 = \frac{\pi}{9} — \frac{4\pi}{3} = -\frac{11\pi}{9}$;

$x_2 = -\frac{\pi}{9} — \pi = -\frac{10\pi}{9}$;

$x_3 = \frac{\pi}{9} — \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\pi}{9}$;

$x_4 = -\frac{\pi}{9} — \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{9}$;

$x_5 = \frac{\pi}{9}$;

$x_6 = -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{9}$;

$x_7 = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{9}$;

$x_8 = -\frac{\pi}{9} + \pi = \frac{8\pi}{9}$

Нужно найти все корни уравнений на отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]$:

1) Решить уравнение

$$\sin 2x = -\frac{1}{2}.$$

Подробное решение:

Шаг 1: Вводим новую переменную для удобства

Пусть

$$t = 2x.$$

Тогда уравнение перепишется как

$$\sin t = -\frac{1}{2}.$$

Шаг 2: Найдем общий вид решения уравнения $\sin t = -\frac{1}{2}$.

Арксинус определён только на $[-1,1]$, и $-\frac{1}{2}$ входит в этот промежуток, значит решения существуют.

Общее решение уравнения $\sin t = y_0$ задаётся формулой:

$$t = (-1)^n \arcsin y_0 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

В нашем случае:

$$y_0 = -\frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Найдем $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$.

Значение арксинуса на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ для $-\frac{1}{2}$ равно:

$$\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}.$$

Шаг 4: Подставляем в общее решение:

$$t = (-1)^n \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Пояснение:

$$(-1{)}^n\cdot (-\frac{\pi }{6})=-(-1{)}^n\frac{\pi }{6}=(-1{)}^{n+1}\frac{\pi }{6}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Возвращаемся к переменной $x$:

$$t = 2x \implies x = \frac{t}{2} = \frac{1}{2} \left((-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}.$$

Шаг 6: Определяем все значения $x$, которые лежат в отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}, \pi\right]$.

Отрезок для $x$:

$$-\frac{3\pi}{2} \leq x \leq \pi.$$

Подставляем общее выражение для $x$:

$$-\frac{3\pi}{2} \leq (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \leq \pi.$$

Шаг 7: Перебираем целые значения $n$ и находим допустимые корни.

• Для удобства вычислим значения $x_n$ при разных $n$:

Шаг 8: Отбрасываем значения, выходящие за границы отрезка.

• Отрезок: $-\frac{3\pi}{2} \approx -4.7124$ до $\pi \approx 3.1416$.
• $x = -\frac{17\pi}{12} \approx -4.4505$ — входит.
• $x = -\frac{13\pi}{12} \approx -3.4034$ — входит.
• $x = -\frac{5\pi}{12} \approx -1.3089$ — входит.
• $x = -\frac{\pi}{12} \approx -0.2618$ — входит.
• $x = \frac{7\pi}{12} \approx 1.8326$ — входит.
• $x = \frac{11\pi}{12} \approx 2.8798$ — входит.
• $x = \frac{19\pi}{12} \approx 4.975$ — не входит (больше $\pi$).

Шаг 9: Итоговые корни на отрезке:

$$x_1=-\frac{17\pi }{12},x_2=-\frac{13\pi }{12},x_3=-\frac{5\pi }{12},$$

$$x_1 = -\frac{17\pi}{12}, \quad x_2 = -\frac{13\pi}{12}, \quad x_3 = -\frac{5\pi}{12}, \quad x_4 = -\frac{\pi}{12}, \quad x_5 = \frac{7\pi}{12}, \quad x_6 = \frac{11\pi}{12}.$$

2) Решить уравнение

$$\sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Подробное решение:

Шаг 1: Вводим новую переменную

Пусть

$$t = 3x.$$

Тогда уравнение переписывается как

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 2: Общий вид решения уравнения $\sin t = y_0$

Для $y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$t = (-1)^n \arcsin y_0 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 3: Находим значение $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$

Из известных значений:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 4: Записываем общее решение

$$t = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Шаг 5: Возвращаемся к $x$:

$$x = \frac{t}{3} = \frac{1}{3} \left( (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = (-1)^n \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}.$$

Шаг 6: Определяем все значения $x$, лежащие на отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}, \pi\right]$:

$$-\frac{3\pi}{2} \leq (-1)^n \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \leq \pi.$$

Шаг 7: Перебираем значения $n$ и вычисляем $x_n$.

Шаг 8: Отбрасываем значения, выходящие за пределы.

Отрезок $\left[-\frac{3\pi}{2}, \pi\right] \approx [-4.712; 3.142]$.

Значения $x_n$ для $n=-4, -3, 4$ выходят за пределы.

Шаг 9: Итоговые корни на отрезке:

$$x_1=-\frac{11\pi }{9},x_2=-\frac{10\pi }{9},x_3=-\frac{5\pi }{9},x_4=-\frac{4\pi }{9},$$

$$x_1 = -\frac{11\pi}{9}, \quad x_2 = -\frac{10\pi}{9}, \quad x_3 = -\frac{5\pi}{9}, \quad x_4 = -\frac{4\pi}{9}, \quad x_5 = \frac{\pi}{9}, \quad x_6 = \frac{2\pi}{9}, \quad x_7 = \frac{7\pi}{9}, \quad x_8 = \frac{8\pi}{9}.$$

Итог:

Корни уравнения $\sin 2x = -\frac{1}{2}$ на $\left[-\frac{3\pi}{2}, \pi\right]$:

$$-\frac{17\pi}{12}, \quad -\frac{13\pi}{12}, \quad -\frac{5\pi}{12}, \quad -\frac{\pi}{12}, \quad \frac{7\pi}{12}, \quad \frac{11\pi}{12}.$$

Корни уравнения $\sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\left[-\frac{3\pi}{2}, \pi\right]$:

$$-\frac{11\pi}{9}, \quad -\frac{10\pi}{9}, \quad -\frac{5\pi}{9}, \quad -\frac{4\pi}{9}, \quad \frac{\pi}{9}, \quad \frac{2\pi}{9}, \quad \frac{7\pi}{9}, \quad \frac{8\pi}{9}.$$