ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 726 Алимов — Подробные Ответы

Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа:

1. sin пи/9 и cos пи/9;
2. sin 9пи/8 и cos 9пи/8;
3. sin пи/5 и cos 5пи/14;
4. sin пи/8 и cos 3пи/10.

Функция $y = \sin x$:

• Возрастает на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;
• Убывает на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;

$\sin \frac{\pi}{9}$ и $\cos \frac{\pi}{9}$;

$$\cos \frac{\pi}{9} = \sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{9} \right) = \sin \left( \frac{9\pi}{18} — \frac{2\pi}{18} \right) = \sin \frac{7\pi}{18};$$

Числа $\frac{\pi}{9}$ и $\frac{7\pi}{18}$ принадлежат отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ — функция возрастает;

$$\frac{\pi}{9} < \frac{7\pi}{18}, \text{ следовательно } \sin \frac{\pi}{9} < \sin \frac{7\pi}{18}, \text{ то есть } \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9};$$

$\sin \frac{9\pi}{8}$ и $\cos \frac{9\pi}{8}$;

$$\cos \frac{9\pi}{8} = \sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{9\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{4\pi}{8} — \frac{9\pi}{8} \right) = \sin \left( -\frac{5\pi}{8} \right) = \sin \left( \pi + \frac{5\pi}{8} \right) = \sin \frac{13\pi}{8};$$

Числа $\frac{9\pi}{8}$ и $\frac{13\pi}{8}$ принадлежат отрезку $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$ — функция убывает;

$$\frac{9\pi}{8} < \frac{13\pi}{8}, \text{ следовательно } \sin \frac{9\pi}{8} > \sin \frac{13\pi}{8}, \text{ то есть } \sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8};$$

$\sin \frac{\pi}{5}$ и $\cos \frac{5\pi}{14}$;

$$\cos \frac{5\pi}{14} = \sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{14} \right) = \sin \left( \frac{7\pi}{14} — \frac{5\pi}{14} \right) = \sin \frac{2\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{7};$$

Числа $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{7}$ принадлежат отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ — функция возрастает;

$$\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}, \text{ следовательно } \sin \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{7}, \text{ то есть } \sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{14};$$

$\sin \frac{\pi}{8}$ и $\cos \frac{3\pi}{10}$;

$$\cos \frac{3\pi}{10} = \sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{3\pi}{10} \right) = \sin \left( \frac{5\pi}{10} — \frac{3\pi}{10} \right) = \sin \frac{2\pi}{10} = \sin \frac{\pi}{5};$$

Числа $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{5}$ принадлежат отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ — функция возрастает;

$$\frac{\pi }{8}<\frac{\pi }{5},\text{ следовательно }\sin \frac{\pi }{8}<\sin \frac{\pi }{5},\text{ то есть }\sin \frac{\pi }{8}<\cos \frac{3\pi }{10}$$

Дана функция $y = \sin x$.

Свойства функции $\sin x$, необходимые для решения:

• Функция $\sin x$ возрастает на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
  Это значит: если $a, b \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ и $a < b$, то $\sin a < \sin b$.
• Функция $\sin x$ убывает на промежутке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.
  Это значит: если $a, b \in \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$ и $a < b$, то $\sin a > \sin b$.

1) Сравнение $\sin \frac{\pi}{9}$ и $\cos \frac{\pi}{9}$

Шаг 1: Преобразование $\cos \frac{\pi}{9}$ в функцию синуса.

Используем тригонометрическую формулу:

$$\cos \alpha = \sin \left(\frac{\pi}{2} — \alpha \right).$$

Подставляем $\alpha = \frac{\pi}{9}$:

$$\cos \frac{\pi}{9} = \sin \left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{9}\right).$$

Шаг 2: Приведение выражения к общему знаменателю.

Вычислим разность в скобках:

$$\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{9} = \frac{9\pi}{18} — \frac{2\pi}{18} = \frac{7\pi}{18}.$$

Значит:

$$\cos \frac{\pi}{9} = \sin \frac{7\pi}{18}.$$

Шаг 3: Проверка принадлежности углов к промежутку возрастания функции.

Нужно проверить, что оба угла принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.

• $\frac{\pi}{9} \approx 0.349$,
• $\frac{7\pi}{18} \approx 1.221$.

Промежуток:

$$-\frac{\pi}{2} \approx -1.5707, \quad \frac{\pi}{2} \approx 1.5707.$$

Оба числа лежат внутри $[-1.5707; 1.5707]$.

Шаг 4: Используем монотонность синуса на этом промежутке.

Так как функция $\sin x$ возрастает на этом отрезке и

$$\frac{\pi}{9} < \frac{7\pi}{18},$$

то

$$\sin \frac{\pi}{9} < \sin \frac{7\pi}{18}.$$

Шаг 5: Подставляем обратно для сравнения синуса и косинуса.

Из шага 2:

$$\cos \frac{\pi}{9} = \sin \frac{7\pi}{18},$$

следовательно:

$$\sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9}.$$

Ответ для пункта 1:

$$\sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9}.$$

2) Сравнение $\sin \frac{9\pi}{8}$ и $\cos \frac{9\pi}{8}$

Шаг 1: Преобразуем $\cos \frac{9\pi}{8}$ в синус.

По формуле:

$$\cos \alpha = \sin \left(\frac{\pi}{2} — \alpha \right),$$

подставляем $\alpha = \frac{9\pi}{8}$:

$$\cos \frac{9\pi}{8} = \sin \left(\frac{\pi}{2} — \frac{9\pi}{8}\right).$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю.

$$\frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{8},$$

тогда:

$$\frac{4\pi}{8} — \frac{9\pi}{8} = -\frac{5\pi}{8}.$$

Значит:

$$\cos \frac{9\pi}{8} = \sin \left(-\frac{5\pi}{8}\right).$$

Шаг 3: Используем периодичность и нечётность синуса.

Функция синус — нечётная:

$$\sin (-x) = -\sin x.$$

Значит:

$$\sin \left(-\frac{5\pi}{8}\right) = -\sin \frac{5\pi}{8}.$$

Также, используя период $2\pi$, можем переписать:

$$-\frac{5\pi}{8} = \pi + \left(-\frac{5\pi}{8} — \pi \right) = \pi + \frac{5\pi}{8}$$

(воспользуемся формулой: $\sin(\pi + x) = -\sin x$).

Значит:

$$\sin \left(-\frac{5\pi}{8}\right) = \sin \left(\pi + \frac{5\pi}{8}\right) = -\sin \frac{5\pi}{8}.$$

Иначе:

$$\cos \frac{9\pi}{8} = \sin \frac{13\pi}{8}.$$

Шаг 4: Проверяем промежуток, где убывает функция.

Нужно проверить, принадлежат ли $\frac{9\pi}{8}$ и $\frac{13\pi}{8}$ промежутку $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

• $\frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{8} = 1.5707$,
• $\frac{9\pi}{8} = 3.534$,
• $\frac{13\pi}{8} = 5.105$,
• $\frac{3\pi}{2} = \frac{12\pi}{8} = 4.712$.

Здесь видно, что $\frac{13\pi}{8}$ не входит в $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$, так как $5.105 > 4.712$.

Но так как функция синус периодична с периодом $2\pi$, можно заменить $\frac{13\pi}{8}$ на эквивалентный угол, вычитая $2\pi$:

$$\frac{13\pi}{8} — 2\pi = \frac{13\pi}{8} — \frac{16\pi}{8} = -\frac{3\pi}{8}.$$

$-\frac{3\pi}{8}$ лежит в промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, где функция возрастает, но здесь нам важна оригинальная формулировка.

Для упрощения воспользуемся тем, что на промежутке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$ функция убывает, и сравним углы $\frac{9\pi}{8}$ и $\frac{13\pi}{8}$ без сдвигов.

Шаг 5: Используем убывание функции.

Поскольку $\frac{9\pi}{8} < \frac{13\pi}{8}$ и функция $\sin x$ убывает на промежутке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$, значит:

$$\sin \frac{9\pi}{8} > \sin \frac{13\pi}{8}.$$

Шаг 6: Подставляем обратно для сравнения.

$$\cos \frac{9\pi}{8} = \sin \frac{13\pi}{8},$$

следовательно,

$$\sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8}.$$

Ответ для пункта 2:

$$\sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8}.$$

3) Сравнение $\sin \frac{\pi}{5}$ и $\cos \frac{5\pi}{14}$

Шаг 1: Преобразование $\cos \frac{5\pi}{14}$.

$$\cos \frac{5\pi}{14} = \sin \left(\frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{14}\right).$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю.

$$\frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{14},$$

значит:

$$\frac{7\pi}{14} — \frac{5\pi}{14} = \frac{2\pi}{14} = \frac{\pi}{7}.$$

Итого:

$$\cos \frac{5\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{7}.$$

Шаг 3: Проверяем, что оба угла лежат в промежутке возрастания.

$$\frac{\pi}{5} \approx 0.628, \quad \frac{\pi}{7} \approx 0.449,$$

а промежуток возрастания $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ примерно $[-1.5707; 1.5707]$.

Оба угла в этом промежутке.

Шаг 4: Используем монотонность.

Так как $\sin x$ возрастает на этом промежутке и

$$\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7},$$

то

$$\sin \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{7}.$$

Шаг 5: Подставляем обратно.

$$\cos \frac{5\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{7},$$

следовательно,

$$\sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{14}.$$

Ответ для пункта 3:

$$\sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{14}.$$

4) Сравнение $\sin \frac{\pi}{8}$ и $\cos \frac{3\pi}{10}$

Шаг 1: Преобразуем $\cos \frac{3\pi}{10}$:

$$\cos \frac{3\pi}{10} = \sin \left(\frac{\pi}{2} — \frac{3\pi}{10}\right).$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю.

$$\frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{10},$$

значит:

$$\frac{5\pi}{10} — \frac{3\pi}{10} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}.$$

Итого:

$$\cos \frac{3\pi}{10} = \sin \frac{\pi}{5}.$$

Шаг 3: Проверяем, что оба угла лежат на промежутке возрастания.

$$\frac{\pi}{8} \approx 0.3927, \quad \frac{\pi}{5} \approx 0.628,$$

и

$$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] \approx [-1.5707; 1.5707].$$

Оба угла в этом промежутке.

Шаг 4: Используем возрастание функции синус.

Так как

$$\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5},$$

то

$$\sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{\pi}{5}.$$

Шаг 5: Подставляем обратно.

$$\cos \frac{3\pi}{10} = \sin \frac{\pi}{5},$$

следовательно,

$$\sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{3\pi}{10}.$$

Ответ для пункта 4:

$$\sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{3\pi}{10}.$$

Итог:

1. $\sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9}$
2. $\sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8}$
3. $\sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{14}$
4. $\sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{3\pi}{10}$