ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 725 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3пи]:

sinx > 1/2;
sinx < =корень 2/2;
sinx > =-1/2;
sinx < — корень 3/2.

Краткий ответ:

Требуется найти решения неравенства на отрезке $[0; 3 π]$ :

$1. sin x > \frac{1}{2}$ ;

$\arcsin \frac{1}{2} + 2 π n < x < π - \arcsin \frac{1}{2} + 2 π n;$ $\frac{π}{6} + 2 π n < x < π - \frac{π}{6} + 2 π n;$ $\frac{π}{6} + 2 π n < x < \frac{5 π}{6} + 2 π n;$

Значения на искомом отрезке:

$\frac{π}{6} < x_{1} < \frac{5 π}{6};$ $\frac{13 π}{6} < x_{2} < \frac{17 π}{6};$

$2. sin x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$- π - \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 π n \leq x \leq \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 π n;$ $- π - \frac{π}{4} + 2 π n \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 π n;$ $- \frac{5 π}{4} + 2 π n \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 π n;$

Значения на искомом отрезке:

$0 \leq x_{1} \leq \frac{π}{4};$ $\frac{3 π}{4} \leq x_{2} \leq \frac{9 π}{4};$ $\frac{11 π}{4} \leq x_{3} \leq 3 π;$

$3. sin x \geq - \frac{1}{2}$ ;

$\arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 π n \leq x \leq π - \arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 π n;$ $- \arcsin \frac{1}{2} + 2 π n \leq x \leq π + \arcsin \frac{1}{2} + 2 π n;$ $- \frac{π}{6} + 2 π n \leq x \leq π + \frac{π}{6} + 2 π n;$ $- \frac{π}{6} + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 π n;$

Значения на искомом отрезке:

$0 \leq x_{1} \leq \frac{7 π}{6};$ $\frac{11 π}{6} \leq x_{2} \leq 3 π;$

$4. sin x < - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

$- π - \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 π n < x < \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 π n;$ $- π + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 π n < x < - \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 π n;$ $- π + \frac{π}{3} + 2 π n < x < - \frac{π}{3} + 2 π n;$ $- \frac{2 π}{3} + 2 π n < x < - \frac{π}{3} + 2 π n;$

Значения на искомом отрезке:

$\frac{4 π}{3} < x_{1} < \frac{5 π}{3}$

Подробный ответ:

Требуется найти решения неравенств с функцией $\sin x$ на отрезке $[0; 3 π]$

Общие сведения о функции $y = \sin x$

Функция $\sin x$ — периодическая с периодом $2 π$ .
На промежутке от $0$ до $2 π$ синус проходит полный цикл от 0 до 1, обратно до 0, затем до -1 и снова к 0.
Значения $\sin x$ лежат в интервале $[- 1; 1]$ .
Для решения неравенств с синусом полезно знать обратную функцию $\arcsin$ , которая определена на $[- 1; 1]$ и принимает значения в промежутке $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

Основная формула для решения неравенств $\sin x > a$ и $\sin x < a$

На одном периоде $[2 π n; 2 π (n + 1)]$ , где $n \in Z$ , для $a \in [- 1, 1]$ решение неравенств:

$\sin x > a$ — это промежуток между двумя корнями уравнения $\sin x = a$ :

$\arcsin a + 2 π n < x < π - \arcsin a + 2 π n,$

$\sin x < a$ — область вне этого промежутка.

1) Неравенство: $\sin x > \frac{1}{2}$

Шаг 1. Найдём значение обратного синуса:

$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6} .$

Шаг 2. Запишем решение неравенства для любого периода:

$\frac{π}{6} + 2 π n < x < π - \frac{π}{6} + 2 π n = \frac{5 π}{6} + 2 π n .$

Шаг 3. Найдём все $n$ , при которых эти интервалы попадают в отрезок $[0; 3 π]$ :

Для $n = 0$ :

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6},$

этот интервал полностью в пределах $[0; 3 π]$ .

Для $n = 1$ :

$\frac{π}{6} + 2 π = \frac{π}{6} + \frac{12 π}{6} = \frac{13 π}{6} < x < \frac{5 π}{6} + 2 π = \frac{5 π}{6} + \frac{12 π}{6} = \frac{17 π}{6},$

этот интервал тоже полностью в $[0; 3 π]$ (так как $3 π = \frac{18 π}{6}$ ).

Для $n = 2$ :

$\frac{π}{6} + 4 π > 3 π,$

интервал выходит за пределы отрезка.

Итог для пункта 1:

$\frac{π}{6} < x_{1} < \frac{5 π}{6};$ $\frac{13 π}{6} < x_{2} < \frac{17 π}{6} .$

2) Неравенство: $\sin x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1. Найдём обратный синус:

$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{π}{4} .$

Шаг 2. Решение неравенства $\sin x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ — это дополнение к области, где $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Область $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ находится между корнями уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ :

$\frac{π}{4} + 2 π n < x < π - \frac{π}{4} + 2 π n = \frac{3 π}{4} + 2 π n .$

Тогда решение $\sin x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ будет:

$x \leq \frac{π}{4} + 2 π n или x \geq \frac{3 π}{4} + 2 π n .$

Шаг 3. Перепишем для удобства, пользуясь периодичностью и учитывая отрезок:

Нам поможет следующая неравенственная форма, эквивалентная исходной:

$- π - \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 π n \leq x \leq \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 π n,$

или

$- \frac{5 π}{4} + 2 π n \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 π n .$

Шаг 4. Подставим значения $n$ , чтобы попасть в $[0; 3 π]$ :

Для $n = 0$ :

$- \frac{5 π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4},$

учитывая отрезок $[0; 3 π]$ , получается

$0 \leq x \leq \frac{π}{4} .$

Для $n = 1$ :

$- \frac{5 π}{4} + 2 π = - \frac{5 π}{4} + \frac{8 π}{4} = \frac{3 π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 π = \frac{π}{4} + \frac{8 π}{4} = \frac{9 π}{4} .$

Для $n = 2$ :

$- \frac{5 π}{4} + 4 π = - \frac{5 π}{4} + \frac{16 π}{4} = \frac{11 π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4} + 4 π = \frac{π}{4} + \frac{16 π}{4} = \frac{17 π}{4} .$

Поскольку $3 π = \frac{12 π}{4}$ , верхняя граница $\frac{17 π}{4}$ превышает $3 π$ , поэтому верхняя граница корректируется:

$\frac{11 π}{4} \leq x \leq 3 π .$

Итог для пункта 2:

$0 \leq x_{1} \leq \frac{π}{4};$ $\frac{3 π}{4} \leq x_{2} \leq \frac{9 π}{4};$ $\frac{11 π}{4} \leq x_{3} \leq 3 π .$

3) Неравенство: $\sin x \geq - \frac{1}{2}$

Шаг 1. Найдём обратный синус:

$\arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6} .$

Шаг 2. Решение неравенства:

$\arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 π n \leq x \leq π - \arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 π n,$

то есть

$- \frac{π}{6} + 2 π n \leq x \leq π + \frac{π}{6} + 2 π n,$

или

$- \frac{π}{6} + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 π n .$

Шаг 3. Подставим $n$ для отрезка $[0; 3 π]$ :

Для $n = 0$ :

$- \frac{π}{6} \leq x \leq \frac{7 π}{6} .$

Учитывая отрезок, нижняя граница становится 0:

$0 \leq x \leq \frac{7 π}{6} .$

Для $n = 1$ :

$- \frac{π}{6} + 2 π = - \frac{π}{6} + \frac{12 π}{6} = \frac{11 π}{6} \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 π = \frac{7 π}{6} + \frac{12 π}{6} = \frac{19 π}{6} .$

Поскольку $3 π = \frac{18 π}{6}$ , верхняя граница корректируется:

$\frac{11 π}{6} \leq x \leq 3 π .$

Итог для пункта 3:

$0 \leq x_{1} \leq \frac{7 π}{6};$ $\frac{11 π}{6} \leq x_{2} \leq 3 π .$

4) Неравенство: $\sin x < - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1. Обратный синус:

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} .$

Шаг 2. Решение неравенства:

$- π - \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 π n < x < \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 π n,$

то есть

$- π + \frac{π}{3} + 2 π n < x < - \frac{π}{3} + 2 π n,$

или

$- \frac{2 π}{3} + 2 π n < x < - \frac{π}{3} + 2 π n .$

Шаг 3. Подставляем $n$ для отрезка $[0; 3 π]$ :

Для $n = 1$ :

$- \frac{2 π}{3} + 2 π = \frac{4 π}{3} < x < - \frac{π}{3} + 2 π = \frac{5 π}{3} .$

Для $n = 0$ :

$- \frac{2 π}{3} < x < - \frac{π}{3},$

вне отрезка.

Итог для пункта 4:

$\frac{4 π}{3} < x_{1} < \frac{5 π}{3} .$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра