ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 724 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3пи]:

1. sinx= корень 3/2;
2. sinx= корень 2/2;
3. sinx= — корень 2/2;
4. sinx= — корень 3/2.

Требуется найти корни уравнения на отрезке $[0; 3\pi]$:

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$;

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = \frac{\pi}{3};$
$x_2 = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3};$
$x_3 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3};$
$x_4 = -\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3};$

$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = \frac{\pi}{4};$
$x_2 = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4};$
$x_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4};$
$x_4 = -\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4};$

$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4};$
$x_2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4};$

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$;

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3};$
$x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3};$

Требуется найти все корни уравнений вида $\sin x = a$ на отрезке $[0; 3\pi]$, где $a$ — заданные значения.

Теоретическая база:

1. Общая формула решений уравнения $\sin x = a$

Для уравнения

$$\sin x = a,$$

общее решение (при $-1 \leq a \leq 1$) записывается как:

$$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Здесь:

• $\arcsin a$ — главный угол, значение обратной функции синуса на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
• $(-1)^n \arcsin a$ — учитывает отражение синуса относительно оси $x$.
• $\pi n$ — период функции $\sin x$ равен $2\pi$, но корни повторяются с периодом $\pi$.

2. Отрезок исследования

Мы ищем корни $x$ на отрезке:

$$[0; 3\pi].$$

Значит, надо перебрать $n$, чтобы получить все $x$, лежащие в этом диапазоне.

1) Уравнение: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1. Найдём главный аргумент:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 2. Запишем общее решение:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 3. Перебираем $n$ для нахождения всех корней в $[0; 3\pi]$.

• Для $n=0$:

$$x = \frac{\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{\pi}{3}.$$

• Для $n=1$:

$$x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{2\pi}{3}.$$

• Для $n=2$:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad x_3 = \frac{7\pi}{3}.$$

• Для $n=3$:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 3\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{9\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad x_4 = \frac{8\pi}{3}.$$

• Для $n=4$:

$$x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{13\pi}{3} > 3\pi,$$

за пределами отрезка.

Итог для 1-го уравнения:

$$x_1 = \frac{\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{2\pi}{3}, \quad x_3 = \frac{7\pi}{3}, \quad x_4 = \frac{8\pi}{3}.$$

2) Уравнение: $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1. Главный аргумент:

$$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2. Общее решение:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 3. Перебираем $n$:

• $n=0$:

$$x = \frac{\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{\pi}{4}.$$

• $n=1$:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{3\pi}{4}.$$

• $n=2$:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad x_3 = \frac{9\pi}{4}.$$

• $n=3$:

$$x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{12\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad x_4 = \frac{11\pi}{4}.$$

• $n=4$:

$$x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{17\pi}{4} > 3\pi,$$

вне отрезка.

Итог для 2-го уравнения:

$$x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{3\pi}{4}, \quad x_3 = \frac{9\pi}{4}, \quad x_4 = \frac{11\pi}{4}.$$

3) Уравнение: $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1. Применим формулу, учитывая знак:

$$x=(-1{)}^{n+1}\cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}+\pi n=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{4}+\pi n\mathrm{.}$$

Шаг 2. Перебираем $n$:

• $n=0$:

$$x = (-1)^{1} \cdot \frac{\pi}{4} + 0 = -\frac{\pi}{4} \notin [0, 3\pi].$$

• $n=1$:

$$x = (-1)^{2} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \in [0, 3\pi].$$

• $n=2$:

$$x = (-1)^3 \cdot \frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \in [0, 3\pi].$$

• $n=3$:

$$x = (-1)^4 \cdot \frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{13\pi}{4} > 3\pi,$$

вне отрезка.

Итог для 3-го уравнения:

$$x_1 = \frac{5\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{7\pi}{4}.$$

4) Уравнение: $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1. Формула решения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Шаг 2. Перебираем $n$:

• $n=0$:

$$x = -\frac{\pi}{3} \notin [0, 3\pi].$$

• $n=1$:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} \in [0, 3\pi].$$

• $n=2$:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \in [0, 3\pi].$$

• $n=3$:

$$x = \frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{10\pi}{3} > 3\pi,$$

вне отрезка.

Итог для 4-го уравнения:

$$x_1 = \frac{4\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{3}.$$