ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 718 Алимов — Подробные Ответы

Найти множество значений функции у = cos х, если х принадлежит промежутку:

1. [пи/3; пи];
2. (5 пи/4; 7 пи/4).

Дана функция $y = \cos x$;

1. На отрезке $\left[ \frac{\pi}{3}; \pi \right]$ функция монотонно убывает;

$$y_{\text{min}} = \cos \pi = -1;$$ $$y_{\text{max}} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2};$$

Ответ:

$$E(y) = \left[ -1; \frac{1}{2} \right].$$

2. На отрезке $\left( \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4} \right)$ функция монотонно возрастает,

$$y_{\text{min}} = \cos \frac{5\pi}{4} = \cos \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$y_{\text{max}} = \cos \frac{7\pi}{4} = \cos \left( 2\pi — \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

Ответ:

$$E(y)=(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})\mathrm{.}$$

Дана функция $y = \cos x$.

Часть 1: На отрезке $\left[ \frac{\pi}{3}; \pi \right]$

Шаг 1: Анализ монотонности функции на заданном отрезке

Функция $y = \cos x$ — это тригонометрическая функция, которая имеет вид волн с периодом $2\pi$. Чтобы понять, где функция возрастает, а где убывает, нужно изучить её производную.

Шаг 2: Найдём производную функции

$$y = \cos x \implies y’ = -\sin x$$

Шаг 3: Определение знака производной на интервале

• Если $y’ < 0$, то функция убывает.
• Если $y’ > 0$, то функция возрастает.

Шаг 4: Исследуем знак $y’ = -\sin x$ на отрезке $\left[ \frac{\pi}{3}; \pi \right]$

• Для $x \in \left[ \frac{\pi}{3}; \pi \right]$, проверим знак $\sin x$:

Синус в этом промежутке:

• $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$
• $\sin \pi = 0$

На промежутке от $\frac{\pi}{3}$ до $\pi$ синус положителен или равен нулю, то есть $\sin x \geq 0$.

Следовательно:

$$y’ = -\sin x \leq 0$$

Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $\left[ \frac{\pi}{3}; \pi \right]$.

Шаг 5: Нахождение минимального и максимального значений на отрезке

• Так как функция убывает, максимум достигается в начале отрезка $x = \frac{\pi}{3}$, а минимум — в конце $x = \pi$.

Шаг 6: Вычисляем значения функции в концах отрезка

$$y_{\text{max}} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$ $$y_{\text{min}} = \cos \pi = -1$$

Шаг 7: Область значений функции на отрезке

Область значений — это все значения функции $y$ на отрезке $\left[ \frac{\pi}{3}; \pi \right]$:

$$E(y) = \left[ -1; \frac{1}{2} \right]$$

Часть 2: На отрезке $\left( \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4} \right)$

Шаг 1: Анализ монотонности функции на данном интервале

Рассмотрим функцию $y = \cos x$ на интервале $\left( \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4} \right)$.

Шаг 2: Производная функции и её знак на интервале

$$y’ = -\sin x$$

Нужно определить знак $y’$ на интервале:

$$x \in \left( \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4} \right)$$

Шаг 3: Исследуем знак $\sin x$ на этом интервале

Числовое значение:

• $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$ (примерно $225^\circ$)
• $\frac{7\pi}{4} = 2\pi — \frac{\pi}{4}$ (примерно $315^\circ$)

В этот период синус отрицателен (третья и четвёртая четверти), значит:

$$\sin x < 0$$

Тогда:

$$y’ = -\sin x > 0$$

Шаг 4: Вывод о монотонности

Поскольку $y’ > 0$, функция $y = \cos x$ монотонно возрастает на интервале $\left( \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4} \right)$.

Шаг 5: Нахождение минимума и максимума на интервале

• Минимум достигается при $x = \frac{5\pi}{4}$,
• Максимум — при $x = \frac{7\pi}{4}$.

Шаг 6: Вычисление значений функции в концах интервала

Вычислим $y$ в точках:

$$y_{\text{min}} = \cos \frac{5\pi}{4} = \cos \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right)$$

Используя формулу косинуса суммы:

$$\cos(a + b) = \cos a \cos b — \sin a \sin b$$

Для $a = \pi$, $b = \frac{\pi}{4}$:

$$\cos \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) = \cos \pi \cos \frac{\pi}{4} — \sin \pi \sin \frac{\pi}{4}$$ $$= (-1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Аналогично:

$$y_{\text{max}} = \cos \frac{7\pi}{4} = \cos \left( 2\pi — \frac{\pi}{4} \right)$$

Используя формулу косинуса разности:

$$\cos(a — b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$$

Для $a = 2\pi$, $b = \frac{\pi}{4}$:

$$\cos \left( 2\pi — \frac{\pi}{4} \right) = \cos 2\pi \cos \frac{\pi}{4} + \sin 2\pi \sin \frac{\pi}{4}$$ $$= 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 7: Записываем область значений функции на интервале

$$E(y) = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

Итог:

• На $\left[ \frac{\pi}{3}; \pi \right]$ функция убывает, область значений:

$$E(y) = \left[ -1; \frac{1}{2} \right]$$

• На $\left( \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4} \right)$ функция возрастает, область значений:

$$E(y) = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$