ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 717 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции и выяснить её свойства:

1. у = 1 + cos х;
2. у = cos 2х;
3. у = 3 cos х.

1) $y = 1 + \cos x$

а) Область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Область значений:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$ $$0 \leq 1 + \cos x \leq 2$$ $$E(y) = [0; 2]$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x)$$ $$1 + \cos(x + T) = 1 + \cos x$$ $$T = 2\pi$$

г) Функция четная:

$$y(-x) = 1 + \cos(-x) = 1 + \cos x = y(x)$$

д) Нули функции:

$$1 + \cos x = 0$$ $$\cos x = -1$$ $$x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n$$

е) Максимальные значения:

$$1 + \cos x = 2$$ $$\cos x = 1$$ $$x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n$$

ж) Минимальные значения:

$$x = \pi + 2\pi n$$

з) Свойства функции:

• Возрастает при $\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n$;
• Убывает при $2\pi n < x < \pi + 2\pi n$;
• Положительна при $x \neq 2\pi n$.

2) $y = \cos 2x$

а) Область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Область значений:

$$-1 \leq \cos 2x \leq 1$$ $$E(y) = [-1; 1]$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x)$$ $$\cos(2 \cdot (x + T)) = \cos 2x$$ $$\cos(2x + 2T) = \cos 2x$$ $$2T = 2\pi, \text{ отсюда } T = \pi$$

г) Функция четная:

$$y(-x) = \cos(-2x) = \cos 2x = y(x)$$

д) Нули функции:

$$\cos 2x = 0$$ $$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

е) Максимальные значения:

$$\cos 2x = 1$$ $$2x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot 2\pi n = \pi n$$

ж) Минимальные значения:

$$\cos 2x = -1$$ $$2x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot (\pi + 2\pi n) = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

з) Свойства функции:

• Возрастает при $\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n$;
• Убывает при $\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
• Положительна при $-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$;
• Отрицательна при $\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

3) $y = 3 \cos x$

а) Область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Область значений:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$ $$-3 \leq 3 \cos x \leq 3$$ $$E(y) = [-3; 3]$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x)$$ $$3 \cos(x + T) = 3 \cos x$$ $$T = 2\pi$$

г) Функция четная:

$$y(-x) = 3 \cos(-x) = 3 \cos x = y(x)$$

д) Нули функции:

$$3 \cos x = 0$$ $$\cos x = 0$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

е) Максимальные значения:

$$3 \cos x = 3$$ $$\cos x = 1$$ $$x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n$$

ж) Минимальные значения:

$$3 \cos x = -3$$ $$\cos x = -1$$ $$x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n$$

з) Свойства функции:

• Возрастает при $\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n$;
• Убывает при $2\pi n < x < \pi + 2\pi n$;
• Положительна при $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
• Отрицательна при $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

1) Функция $y = 1 + \cos x$

а) Область определения

Функция $y = 1 + \cos x$ определена везде, где определена функция $\cos x$.

Косинус — тригонометрическая функция, определённая для всех вещественных чисел:

$$D(y) = D(\cos x) = (-\infty, +\infty)$$

б) Область значений

Косинус принимает значения в интервале от $-1$ до $1$:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

Добавляя 1 ко всем частям неравенства:

$$-1 + 1 \leq 1 + \cos x \leq 1 + 1$$

то есть

$$0 \leq 1 + \cos x \leq 2$$

Отсюда область значений функции:

$$E(y) = [0; 2]$$

в) Период функции

Период — это наименьшее положительное число $T$, для которого справедливо:

$$y(x + T) = y(x)$$

Подставляем функцию:

$$1 + \cos(x + T) = 1 + \cos x$$

Тогда должно выполняться:

$$\cos(x + T) = \cos x$$

Из свойств косинуса известно, что:

$$\cos (x + T) = \cos x \quad \Rightarrow \quad T = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Наименьшее положительное $T$ равно:

$$T = 2\pi$$

г) Чётность функции

Функция $y$ называется чётной, если:

$$y(-x) = y(x)$$

Проверим:

$$y(-x) = 1 + \cos(-x)$$

Так как косинус — чётная функция:

$$\cos(-x) = \cos x$$

Значит:

$$y(-x) = 1 + \cos x = y(x)$$

Следовательно, функция $y = 1 + \cos x$ — чётная.

д) Нули функции

Нули функции — значения $x$, при которых $y=0$:

$$1 + \cos x = 0$$ $$\cos x = -1$$

Косинус равен $-1$ в точках:

$$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

е) Максимальные значения функции

Максимальное значение достигается, когда косинус максимален:

$$\cos x = 1$$

Максимальное значение функции:

$$y = 1 + 1 = 2$$

Косинус равен 1 в точках:

$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

ж) Минимальные значения функции

Минимальное значение функции — когда косинус равен -1, а это уже найдено:

$$y_{\min} = 1 + (-1) = 0$$

и достигается при:

$$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

з) Свойства функции

• Функция возрастает на промежутках, где производная положительна.

Производная:

$$y’ = -\sin x$$

Значит, $y’$ положительна, когда:

$$-\sin x > 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x < 0$$

Синус отрицателен на промежутках:

$$\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n$$

• Функция убывает, когда производная отрицательна:

$$-\sin x < 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x > 0$$

Синус положителен на промежутках:

$$2\pi n < x < \pi + 2\pi n$$

• Функция положительна, когда:

$$1 + \cos x > 0$$

Это выполняется во всех точках, кроме нулей функции.

2) Функция $y = \cos 2x$

а) Область определения

Функция косинуса определена для всех $x$:

$$D(y) = (-\infty, +\infty)$$

б) Область значений

Значения косинуса лежат в диапазоне $[-1, 1]$:

$$-1 \leq \cos 2x \leq 1$$

Следовательно:

$$E(y) = [-1, 1]$$

в) Период функции

Проверим период $T$:

$$y(x + T) = y(x)$$ $$\cos(2(x + T)) = \cos 2x$$ $$\cos(2x + 2T) = \cos 2x$$

Для косинуса:

$$2T = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Минимальный положительный период:

$$T = \pi$$

г) Чётность функции

Косинус — чётная функция:

$$y(-x) = \cos(-2x) = \cos 2x = y(x)$$

д) Нули функции

$$\cos 2x = 0$$

Косинус равен нулю в точках:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

е) Максимальные значения

$$\cos 2x = 1$$ $$2x = 2\pi n$$ $$x = \pi n$$

Максимальное значение:

$$y = 1$$

ж) Минимальные значения

$$\cos 2x = -1$$ $$2x = \pi + 2\pi n$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Минимальное значение:

$$y = -1$$

з) Свойства функции

• Функция возрастает, когда производная положительна.

Производная:

$$y’ = -2 \sin 2x$$

Положительна, если

$$-\sin 2x > 0 \implies \sin 2x < 0$$

Синус отрицателен на промежутках:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n$$

• Функция убывает, когда производная отрицательна:

$$-\sin 2x < 0 \implies \sin 2x > 0$$

Промежутки убывания:

$$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

• Функция положительна при:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

• Функция отрицательна при:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

3) Функция $y = 3 \cos x$

а) Область определения

Косинус определён для всех чисел:

$$D(y) = (-\infty, +\infty)$$

б) Область значений

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

Умножаем на 3:

$$-3 \leq 3 \cos x \leq 3$$

Область значений:

$$E(y) = [-3, 3]$$

в) Период функции

Период косинуса равен $2\pi$, коэффициент 3 не влияет:

$$T = 2\pi$$

г) Чётность функции

$$y(-x) = 3 \cos(-x) = 3 \cos x = y(x)$$

д) Нули функции

$$3 \cos x = 0$$ $$\cos x = 0$$

Косинус равен 0 при:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

е) Максимальные значения

$$3 \cos x = 3$$ $$\cos x = 1$$ $$x = 2\pi n$$

ж) Минимальные значения

$$3 \cos x = -3$$ $$\cos x = -1$$ $$x = \pi + 2\pi n$$

з) Свойства функции

• Функция возрастает при:

$$\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n$$

• Функция убывает при:

$$2\pi n < x < \pi + 2\pi n$$

• Функция положительна при:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

• Функция отрицательна при:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$