ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 714 Алимов — Подробные Ответы

Выразив синус через косинус по формулам приведения, сравнить числа:

1. cos пи/5 и sin пи/5;
2. sin пи/7 и cos пи/7;
3. cos 3пи/8 и sin 5пи/8;
4. sin 3пи/5 и cos пи/5;
5. cos пи/6 и sin 5пи/14;
6. cos пи/8 и sin 3пи/10.

Функция $y = \cos x$:

• Возрастает на отрезке $[ \pi; 2\pi ]$;
• Убывает на отрезке $[ 0; \pi ]$;

$\cos \frac{\pi}{5}$ и $\sin \frac{\pi}{5}$;

$$\sin \frac{\pi}{5} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{5} \right) = \cos \left( \frac{5\pi}{10} — \frac{2\pi}{10} \right) = \cos \frac{3\pi}{10};$$

Числа $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{3\pi}{10}$ принадлежат отрезку $[ 0; \pi ]$ — функция убывает;

$$\frac{\pi}{5} < \frac{3\pi}{10}, \text{ следовательно } \cos \frac{\pi}{5} > \cos \frac{3\pi}{10}, \text{ то есть } \cos \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{5};$$

$\sin \frac{\pi}{7}$ и $\cos \frac{\pi}{7}$;

$$\sin \frac{\pi}{7} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{7} \right) = \cos \left( \frac{7\pi}{14} — \frac{2\pi}{14} \right) = \cos \frac{5\pi}{14};$$

Числа $\frac{5\pi}{14}$ и $\frac{\pi}{7}$ принадлежат отрезку $[ 0; \pi ]$ — функция убывает;

$$\frac{5\pi}{14} > \frac{\pi}{7}, \text{ следовательно } \cos \frac{5\pi}{14} < \cos \frac{\pi}{7}, \text{ то есть } \sin \frac{\pi}{7} < \cos \frac{\pi}{7};$$

$\cos \frac{3\pi}{8}$ и $\sin \frac{5\pi}{8}$;

$$\sin \frac{5\pi}{8} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{8} \right) = \cos \left( \frac{4\pi}{8} — \frac{5\pi}{8} \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{8} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{8} \right);$$

Числа $\frac{3\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{8}$ принадлежат отрезку $[ 0; \pi ]$ — функция убывает;

$$\frac{3\pi}{8} > \frac{\pi}{8}, \text{ следовательно } \cos \frac{3\pi}{8} < \cos \frac{\pi}{8}, \text{ то есть } \cos \frac{3\pi}{8} < \sin \frac{5\pi}{8};$$

$\sin \frac{3\pi}{5}$ и $\cos \frac{\pi}{5}$;

$$\sin \frac{3\pi}{5} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{3\pi}{5} \right) = \cos \left( \frac{5\pi}{10} — \frac{6\pi}{10} \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{10} \right) = \cos \frac{\pi}{10};$$

Числа $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{5}$ принадлежат отрезку $[ 0; \pi ]$ — функция убывает;

$$\frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{5}, \text{ следовательно } \cos \frac{\pi}{10} > \cos \frac{\pi}{5}, \text{ то есть } \sin \frac{3\pi}{5} > \cos \frac{\pi}{5};$$

$\cos \frac{\pi}{6}$ и $\sin \frac{5\pi}{14}$;

$$\sin \frac{5\pi}{14} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{14} \right) = \cos \left( \frac{7\pi}{14} — \frac{5\pi}{14} \right) = \cos \frac{2\pi}{14} = \cos \frac{\pi}{7};$$

Числа $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{7}$ принадлежат отрезку $[ 0; \pi ]$ — функция убывает;

$$\frac{\pi}{6} > \frac{\pi}{7}, \text{ следовательно } \cos \frac{\pi}{6} < \cos \frac{\pi}{7}, \text{ то есть } \cos \frac{\pi}{6} < \sin \frac{5\pi}{14};$$

$\cos \frac{\pi}{8}$ и $\sin \frac{3\pi}{10}$;

$$\sin \frac{3\pi}{10} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{3\pi}{10} \right) = \cos \left( \frac{5\pi}{10} — \frac{3\pi}{10} \right) = \cos \frac{2\pi}{10} = \cos \frac{\pi}{5};$$

Числа $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{5}$ принадлежат отрезку $[ 0; \pi ]$ — функция убывает;

$$\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5}, \text{ следовательно } \cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{\pi}{5}, \text{ то есть } \cos \frac{\pi}{8} > \sin \frac{3\pi}{10};$$

Дано:

Функция $y = \cos x$:

• Убывает на отрезке $[0; \pi]$,
• Возрастает на отрезке $[\pi; 2\pi]$.

Нужно сравнить значения тригонометрических функций: косинусов и синусов с аргументами, лежащими в указанных пределах.

Вспомогательные факты:

1. Синус можно выразить через косинус по формуле:

   $$\sin \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \theta \right)$$

2. Поскольку $\cos x$ убывает на $[0; \pi]$, для любых $a, b \in [0; \pi]$,

   $$a < b \implies \cos a > \cos b$$

3. Нам нужно сравнить значения $\cos \alpha$ и $\sin \beta$ для различных $\alpha$ и $\beta$.

1) Сравнить $\cos \frac{\pi}{5}$ и $\sin \frac{\pi}{5}$

Шаг 1. Переведём синус в косинус:

$$\sin \frac{\pi}{5} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{5} \right)$$

Посчитаем выражение внутри косинуса:

$$\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{10} — \frac{2\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}$$

Следовательно,

$$\sin \frac{\pi}{5} = \cos \frac{3\pi}{10}$$

Шаг 2. Сравним аргументы $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{3\pi}{10}$:

Переведём к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{10}, \quad \frac{3\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}$$

Ясно, что

$$\frac{2\pi}{10} < \frac{3\pi}{10}$$

Шаг 3. Используем монотонность функции $\cos x$ на отрезке $[0; \pi]$, где она убывает:

$$\text{если } a < b, \text{ то } \cos a > \cos b$$

Так как $\frac{\pi}{5} < \frac{3\pi}{10}$, получаем:

$$\cos \frac{\pi}{5} > \cos \frac{3\pi}{10}$$

Шаг 4. Подставляем обратно:

$$\cos \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{5}$$

Итог для 1):

$$\boxed{ \cos \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{5} }$$

2) Сравнить $\sin \frac{\pi}{7}$ и $\cos \frac{\pi}{7}$

Шаг 1. Переведём $\sin \frac{\pi}{7}$ в косинус:

$$\sin \frac{\pi}{7} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{7} \right)$$

Рассчитаем:

$$\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{7} = \frac{7\pi}{14} — \frac{2\pi}{14} = \frac{5\pi}{14}$$

Шаг 2. Теперь нам нужно сравнить $\cos \frac{5\pi}{14}$ и $\cos \frac{\pi}{7}$:

Проверим порядок чисел:

$$\frac{\pi}{7} = \frac{2\pi}{14}, \quad \frac{5\pi}{14}$$

Очевидно,

$$\frac{5\pi}{14} > \frac{2\pi}{14}$$

Шаг 3. Так как функция $\cos x$ убывает на $[0; \pi]$, и оба аргумента лежат в этом интервале:

$$\cos \frac{5\pi}{14} < \cos \frac{\pi}{7}$$

Шаг 4. Возвращаемся к исходным функциям:

$$\sin \frac{\pi}{7} = \cos \frac{5\pi}{14} < \cos \frac{\pi}{7}$$

Итог для 2):

$$\boxed{ \sin \frac{\pi}{7} < \cos \frac{\pi}{7} }$$

3) Сравнить $\cos \frac{3\pi}{8}$ и $\sin \frac{5\pi}{8}$

Шаг 1. Переведём $\sin \frac{5\pi}{8}$ в косинус:

$$\sin \frac{5\pi}{8} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{8} \right)$$

Вычислим:

$$\frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} — \frac{5\pi}{8} = -\frac{\pi}{8}$$

Косинус — чётная функция:

$$\cos \left( -\frac{\pi}{8} \right) = \cos \frac{\pi}{8}$$

Шаг 2. Сравним $\cos \frac{3\pi}{8}$ и $\cos \frac{\pi}{8}$.

Проверим порядок аргументов:

$$\frac{3\pi}{8} > \frac{\pi}{8}$$

Шаг 3. Поскольку $\cos x$ убывает на $[0; \pi]$, то:

$$\cos \frac{3\pi}{8} < \cos \frac{\pi}{8}$$

Шаг 4. Возвращаемся к исходным функциям:

$$\cos \frac{3\pi}{8} < \sin \frac{5\pi}{8}$$

Итог для 3):

$$\boxed{ \cos \frac{3\pi}{8} < \sin \frac{5\pi}{8} }$$

4) Сравнить $\sin \frac{3\pi}{5}$ и $\cos \frac{\pi}{5}$

Шаг 1. Переведём $\sin \frac{3\pi}{5}$ в косинус:

$$\sin \frac{3\pi}{5} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{3\pi}{5} \right)$$

Посчитаем:

$$\frac{\pi}{2} — \frac{3\pi}{5} = \frac{5\pi}{10} — \frac{6\pi}{10} = -\frac{\pi}{10}$$

Шаг 2. Используем чётность косинуса:

$$\cos (-\frac{\pi }{10})=\cos \frac{\pi }{10}$$

Шаг 3. Сравним $\cos \frac{\pi}{10}$ и $\cos \frac{\pi}{5}$.

Переведём аргументы к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{10}, \quad \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{10}$$

Поскольку

$$\frac{\pi}{10} < \frac{2\pi}{10}$$

и $\cos x$ убывает на $[0; \pi]$, то

$$\cos \frac{\pi}{10} > \cos \frac{\pi}{5}$$

Шаг 4. Возвращаемся к исходным функциям:

$$\sin \frac{3\pi}{5} = \cos \frac{\pi}{10} > \cos \frac{\pi}{5}$$

Итог для 4):

$$\boxed{ \sin \frac{3\pi}{5} > \cos \frac{\pi}{5} }$$

5) Сравнить $\cos \frac{\pi}{6}$ и $\sin \frac{5\pi}{14}$

Шаг 1. Переведём $\sin \frac{5\pi}{14}$ в косинус:

$$\sin \frac{5\pi}{14} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{14} \right)$$

Вычислим:

$$\frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{14} = \frac{7\pi}{14} — \frac{5\pi}{14} = \frac{2\pi}{14} = \frac{\pi}{7}$$

Шаг 2. Сравним $\cos \frac{\pi}{6}$ и $\cos \frac{\pi}{7}$:

Проверим порядок аргументов:

$$\frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{42}, \quad \frac{\pi}{7} = \frac{6\pi}{42}$$

Так как

$$\frac{7\pi}{42} > \frac{6\pi}{42}$$

Шаг 3. Поскольку $\cos x$ убывает на $[0; \pi]$:

$$\cos \frac{\pi}{6} < \cos \frac{\pi}{7}$$

Шаг 4. Возвращаемся к исходным функциям:

$$\cos \frac{\pi}{6} < \sin \frac{5\pi}{14}$$

Итог для 5):

$$\boxed{ \cos \frac{\pi}{6} < \sin \frac{5\pi}{14} }$$

6) Сравнить $\cos \frac{\pi}{8}$ и $\sin \frac{3\pi}{10}$

Шаг 1. Переведём $\sin \frac{3\pi}{10}$ в косинус:

$$\sin \frac{3\pi}{10} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{3\pi}{10} \right)$$

Посчитаем:

$$\frac{\pi}{2} — \frac{3\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} — \frac{3\pi}{10} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$$

Шаг 2. Сравним $\cos \frac{\pi}{8}$ и $\cos \frac{\pi}{5}$:

Проверим порядок аргументов:

$$\frac{\pi}{8} = 0.3927, \quad \frac{\pi}{5} = 0.6283$$ $$\frac{\pi }{8}<\frac{\pi }{5}$$

Шаг 3. Так как $\cos x$ убывает на $[0; \pi]$:

$$\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{\pi}{5}$$

Шаг 4. Возвращаемся к исходным функциям:

$$\cos \frac{\pi}{8} > \sin \frac{3\pi}{10}$$

Итог для 6):

$$\boxed{ \cos \frac{\pi}{8} > \sin \frac{3\pi}{10} }$$