ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 713 Алимов — Подробные Ответы

Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0;3пи]:

1. cosx > =1/2;
2. cosx > =-1/2;
3. cosx < -корень 2/2;
4. cosx < корень 3/2.

Задача:

Требуется найти решения неравенства на отрезке $[0; 3\pi]$.

$\cos x \geq \frac{1}{2}$;

$$-\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n \leq x \leq \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Значения на искомом отрезке:

$$0 \leq x_1 \leq \frac{\pi}{3};$$ $$\frac{5\pi}{3} \leq x_2 \leq \frac{7\pi}{3};$$

$\cos x \geq -\frac{1}{2}$;

$$-\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n \leq x \leq \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n;$$ $$-\left(\pi — \arccos \frac{1}{2}\right) + 2\pi n \leq x \leq \pi — \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n;$$ $$-\left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n \leq x \leq \pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Значения на искомом отрезке:

$$0 \leq x_1 \leq \frac{2\pi}{3};$$ $$\frac{4\pi}{3} \leq x_2 \leq \frac{8\pi}{3};$$

$\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n;$$ $$\pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n < x < 2\pi — \left(\pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n;$$ $$\pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < 2\pi — \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$\pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n;$$

Значения на искомом отрезке:

$$\frac{3\pi}{4} < x_1 < \frac{5\pi}{4};$$ $$\frac{11\pi}{4} < x_2 \leq 3\pi;$$

$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < 2\pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n;$$

Значения на искомом отрезке:

$$\frac{\pi}{6} < x_1 < \frac{11\pi}{6};$$ $$\frac{13\pi }{6}<x_2\le 3\pi ;$$

Задача:

Найти решения неравенств с косинусом на отрезке $[0; 3\pi]$.

Вводные знания

• Функция $y = \cos x$ периодична с периодом $2\pi$.
• На интервале $[0; \pi]$ косинус убывает от 1 до -1.
• На интервале $[\pi; 2\pi]$ косинус возрастает от -1 до 1.
• Значения арккосинуса $\arccos a$ находятся в интервале $[0; \pi]$.

1) $\cos x \geq \frac{1}{2}$

Шаг 1. Найти $\arccos \frac{1}{2}$:

Из известных значений тригонометрии:

$$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 2. Записать неравение в общем виде:

Для $\cos x \geq a$ множество решений — это интервалы вокруг максимумов функции, симметричные относительно оси $x$:

$$-\arccos a + 2\pi n \leq x \leq \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Для $a = \frac{1}{2}$ это:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 3. Найти решения на отрезке $[0; 3\pi]$

Отрезок $[0; 3\pi]$ примерно равен $[0; 9.4247]$.

Подставим разные значения $n$:

• $n=0$:

$$-\frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{3}$$

Но левая граница отрицательна ($-\pi/3 \approx -1.047$), а нам нужны только $x \geq 0$, значит:

$$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$$

• $n=1$:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi$$

Вычислим численно:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi = -1.047 + 6.283 = 5.236$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi = 1.047 + 6.283 = 7.330$$

Интервал:

$$5.236 \leq x \leq 7.330$$

Оба значения входят в $[0; 3\pi]$.

• $n=2$:

$$-\frac{\pi}{3} + 4\pi = -1.047 + 12.566 = 11.519 > 9.4247$$

Вне отрезка.

Итог по пункту 1:

$$0 \leq x_1 \leq \frac{\pi}{3}$$ $$\frac{5\pi}{3} \leq x_2 \leq \frac{7\pi}{3}$$

2) $\cos x \geq -\frac{1}{2}$

Шаг 1. Найти $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$:

Известно:

$$\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = \pi — \arccos \frac{1}{2} = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

Шаг 2. Записать общий вид решения:

$$-\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n \leq x \leq \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$$

Подставляем:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 3. Найти решения на отрезке $[0; 3\pi]$

• $n=0$:

$$-\frac{2\pi}{3} \leq x \leq \frac{2\pi}{3}$$

Отрицательная левая граница, отсюда:

$$0 \leq x \leq \frac{2\pi}{3}$$

• $n=1$:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi$$

Численно:

$$-2.094 + 6.283 = 4.188$$ $$2.094 + 6.283 = 8.377$$

Итого:

$$4.188 \leq x \leq 8.377$$

Входит в $[0; 3\pi]$.

• $n=2$:

$$-\frac{2\pi}{3} + 4\pi = -2.094 + 12.566 = 10.472 > 9.4247$$

Вне отрезка.

Итог по пункту 2:

$$0 \leq x_1 \leq \frac{2\pi}{3}$$ $$\frac{4\pi}{3} \leq x_2 \leq \frac{8\pi}{3}$$

3) $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1. Найти $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$:

Известно:

$$\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$$

Следовательно:

$$\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

Шаг 2. Записать решение неравенства $\cos x < a$:

Для $a < 0$ решение — промежутки между точками, где косинус равен $a$, на каждом периоде:

$$\arccos a + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos a + 2\pi n$$

Подставим $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < 2\pi — \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 3. Найти значения на $[0; 3\pi]$:

• $n=0$:

$$\frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}$$

• $n=1$:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4}$$

Но $\frac{13\pi}{4} \approx 10.21 > 3\pi \approx 9.42$, значит верхняя граница выходит за отрезок.

Итого:

$$\frac{11\pi}{4} < x \leq 3\pi$$

Итог по пункту 3:

$$\frac{3\pi}{4} < x_1 < \frac{5\pi}{4}$$ $$\frac{11\pi}{4} < x_2 \leq 3\pi$$

4) $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1. Найти $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$:

Известно:

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 2. Записать решение неравенства $\cos x < a$:

Для $a > 0$, решение — промежуток между корнями $x = \arccos a + 2\pi n$ и $x = 2\pi — \arccos a + 2\pi n$:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < 2\pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 3. Найти решения на $[0; 3\pi]$:

• $n=0$:

$$\frac{\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{6}$$

• $n=1$:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi = \frac{23\pi}{6}$$

Но $\frac{23\pi}{6} \approx 12.04 > 9.42$, значит верхняя граница выходит за отрезок, заменяем на $3\pi$.

Итог по пункту 4:

$$\frac{\pi}{6} < x_1 < \frac{11\pi}{6}$$ $$\frac{13\pi}{6} < x_2 \leq 3\pi$$

Общий итог:

• Для каждого неравенства мы использовали периодичность функции $\cos x$ и свойство арккосинуса.
• Искали интервалы $x$ для разных $n$, чтобы решения попадали в отрезок $[0; 3\pi]$.
• Корректировали границы с учётом диапазона.